137
правок
Изменения
Нет описания правки
=Ортогональный и ортонормированный базис=
{{Определение
|definition=
{{Определение
|definition=
Базис <tex dpi='140'>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> называется '''ортонормированным'''(ОРТН), если <tex>\left \langle e_i;e_j \right \rangle=\delta_{ij}</tex>, то есть:
1) <tex>e_i \bot e_j</tex>, для <tex>(i \ne j)</tex>.
2) <tex> \Vert e_i \Vert=1 \ (i=1..n) </tex>
|proof=
Докажем методом от противного.
Пусть <tex>e_k=0</tex>, тогда <tex>(*): \ 0=e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1}e_{k-1}</tex>
<tex>\alpha_1 e_1=x_1, \ \alpha_2 e_2=</tex> ЛК<tex> \{x_1, x_2\} </tex> и так далее <tex>\alpha_{k-1} e_{k-1}=</tex> ЛК<tex>\{x_1, x_2...x_{k-1}\} </tex>
Тогда <tex>0_E=x_k+\sum\limits _{i=1}^{k-1} \beta_ix_i </tex>. Но <tex>\{x_1...x_k\} - </tex> ЛНЗ набор, как поднабор ЛНЗ набора, среди коэффициентов разложения есть не нулевой (у <tex>x_k</tex>), тогда приходим к противоречию, так как набор коэффициентов не тривиальный, а вектора ЛНЗ.
Значит, предположение не верно и <tex>e_k \ne 0</tex>, то есть процесс ортогонализации не оборвется пока набор будет ЛНЗ.
}}
<tex>\{x_i\}_{i=1}^{n} \rightarrow \{e_i\}_{i=1}^{n}</tex>, таким образом получаем ортогональный набор векторов.
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>\{x_i\}_{i=1}^{k-1} - </tex> ЛНЗ, <tex>\{x_i\}_{i=1}^{k} - </tex> ЛЗ, тогда <tex>e_k=0</tex>
|proof=
Доказательство очевидно из леммы, доказанной выше.
}}
=Свойства=
{{Лемма
|statement=
<tex> \Vert e_k \Vert \leqslant \Vert x_k \Vert </tex>
|proof=
Рассмотрим <tex> \left \langle (*);e_k \right \rangle </tex>
<tex> \left \langle e_k;e_k \right \rangle = \left \langle x_k;e_k \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_k \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_k \right \rangle </tex>, но <tex> \left \langle e_i;e_k \right \rangle=0 \ (i=1..k-1)</tex>
<tex> \Rightarrow \Vert e_k \Vert^2= \left \langle x_k;e_k \right \rangle </tex> по неравенству Шварца <tex> \Rightarrow \Vert e_k \Vert^2 \leqslant \Vert x_k \Vert \cdot \Vert e_k \Vert </tex>, так как <tex>\Vert e_k \Vert \ne 0 \Rightarrow \Vert e_k \Vert \leqslant \Vert x_k \Vert </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
В любом конечномерном унитарном пространстве существует ортогональный и даже ортонормированный базис.
|proof=
Ортогональный базис получается процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Из ортогонального по определению легко получить ортонормированный.
}}
{{Лемма
|statement=
<tex> \forall x,y \in E </tex> в ОРТН базисе <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n} \Rightarrow \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \bar \eta^k </tex>
|proof=
<tex> \left \langle x;y \right \rangle=\left \langle \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i; \sum\limits_{k=1}^n \eta^k e_k \right \rangle= \sum\limits_{i,k=1}^n \xi^i \bar \eta^k \left \langle e_i;e_k \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \bar \eta^k </tex>
}}
{{Лемма
|statement=
Если для <tex> \forall x,y \in E </tex> верно, что <tex> \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \bar \eta^k </tex>, то соответствующий базис <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n} - </tex> ОРТН.
|proof=
Доказательство предыдущей леммы в обратную сторону, то есть получаем, что <tex> \left \langle e_i;e_j \right \rangle= \delta^{ik} </tex>, тогда базис ОРТН по определению.
}}
