Ортогональность

Материал из Викиконспекты
Версия от 13:19, 12 июня 2013; Maryann (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Определение |definition= Пусть <tex>E</tex> - унитарное пространство. Базис <tex dpi='140'>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> н...»)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Пусть [math]E[/math] - унитарное пространство. Базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называется ортогональным, если [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle=0[/math], где [math](i \ne j)[/math].


Определение:
Базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называется ортонормированным, если [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle=\delta_{ij}[/math], то есть:

1) [math]e_i \bot e_j[/math], для [math](i \ne j)[/math].

2) [math] \Vert e_i \Vert=1 \ (i=1..n) [/math]


Процесс ортогонализации набора векторов (Грам-Шмидт)

Утверждение:
Пусть [math]\{x_i\}_{i=1}^{n} - [/math] ЛНЗ [math](x_i \ne 0)[/math]

1) [math]e_1=x_1[/math]

2) [math]e_2=x_2 + \alpha_1 e_1[/math]

и так далее

k) [math]e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1} e_{k-1}[/math] [math](*)[/math]
[math]\triangleright[/math]

На 2-ом шаге надо, чтобы [math]e_1 \bot e_2[/math], то есть

[math]0= \left \langle e_2;e_1 \right \rangle = \left \langle x_2;e_1 \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_1 \right \rangle [/math] [math] \Rightarrow \alpha_1 = \frac{- \left \langle x_2;e_1 \right \rangle }{ \left \langle e_1;e_1 \right \rangle } [/math]

На k-ом шаге уже есть [math]e_1, e_2...e_{k-1}[/math] [math]-[/math] попарно [math] \bot \ (k \leqslant m)[/math]. Надо, чтобы [math]e_k \bot e_i \ (i=1..k-1)[/math]

Рассмотрим [math] \left \langle (*);e_i \right \rangle [/math]

Необходимо, чтобы [math]0=\left \langle e_k;e_i \right \rangle = \left \langle x_k;e_i \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_i \right \rangle +...+ \alpha_i \left \langle e_i;e_i \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_i \right \rangle [/math], где [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle =0, \ i \ne j [/math]

Тогда [math]\alpha_i = \frac{- \left \langle x_k;e_i \right \rangle }{ \left \langle e_i;e_i \right \rangle }[/math]

Лемма:
Данный процесс не оборвется, то есть все [math]e_i \ne 0[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Докажем методом от противного.
[math]\triangleleft[/math]
[math]\triangleleft[/math]