Основная теорема арифметики — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}} ==Эквивалентность двух определений простых чисел== ==Основная теорема ариф…»)
 
Строка 4: Строка 4:
  
 
==Основная теорема арифметики==
 
==Основная теорема арифметики==
 +
 +
===Лемма Евклида===
 +
 +
{{Лемма
 +
|id=th1
 +
|statement=
 +
Если простое число <math>p</math> делит без остатка произведение двух целых чисел <math>x\cdot y</math>, то <math>p</math> делит <math>x</math> или <math>y</math>.
 +
|proof=
 +
Пусть <math>x\cdot y</math> делится на <math>p</math>, но <math>x</math> не делится на <math>p</math>. Тогда <math>x</math> и <math>p</math> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <math>u</math> и <math>v</math>, что
 +
: <math>x\cdot u+p\cdot v=1</math> (соотношение Безу).
 +
Умножая обе части на <math>y</math>, получаем
 +
: <math>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</math>
 +
Оба слагаемых левой части делятся на <math>p</math>, значит, и правая часть делится на <math>p</math>, ч.т.д.
 +
}}
  
 
[[Категория: Классы чисел]]
 
[[Категория: Классы чисел]]

Версия 15:54, 30 июня 2010

Эта статья находится в разработке!

Эквивалентность двух определений простых чисел

Основная теорема арифметики

Лемма Евклида

Лемма:
Если простое число [math]p[/math] делит без остатка произведение двух целых чисел [math]x\cdot y[/math], то [math]p[/math] делит [math]x[/math] или [math]y[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x\cdot y[/math] делится на [math]p[/math], но [math]x[/math] не делится на [math]p[/math]. Тогда [math]x[/math] и [math]p[/math] — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа [math]u[/math] и [math]v[/math], что

[math]x\cdot u+p\cdot v=1[/math] (соотношение Безу).

Умножая обе части на [math]y[/math], получаем

[math](x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.[/math]
Оба слагаемых левой части делятся на [math]p[/math], значит, и правая часть делится на [math]p[/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]