Преобразование Мёбиуса для получения коэффициентов полинома Жегалкина — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 5: Строка 5:
 
: <math>f(x_{1},x_{2},...x_{n}) = \bigoplus _{1\leq k \leq n} \left [\bigoplus _{1\leq i_{1}<i_{2}<..<i_{k} \leq n} \alpha _{i_{1}i_{2},..i_{k}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{k}}  \right ],</math>
 
: <math>f(x_{1},x_{2},...x_{n}) = \bigoplus _{1\leq k \leq n} \left [\bigoplus _{1\leq i_{1}<i_{2}<..<i_{k} \leq n} \alpha _{i_{1}i_{2},..i_{k}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{k}}  \right ],</math>
  
:где  <tex>\alpha _{i} \in  \{ 0; 1 \} </tex>     (<tex>i</tex> - вектор из <tex>i_{1}, i_{2},.. i_{n}</tex>).
+
:где  <tex>\alpha _{i} \in  \{ 0; 1 \}</tex>   &nbsp;&nbsp;  (<tex>i</tex> - вектор из <tex>i_{1}, i_{2},.. i_{k}</tex>).
<br/><br/>
+
<br/>
Отображение <tex>f\rightarrow \alpha _{i} </tex> (то есть такое, которое по заданной функции определяет ее коэффициенты при членах полинома Жегалкина) :
+
Пусть <tex> m(i) = (m _{1}, m _{2}, .. m _{n}), \;\;</tex> где для всех индексов <tex>t=i _{k}, \;\; m _{t} = 1</tex>, а для остальных индексов <tex>t \neq i _{k}, \; m _{t} = 0</tex>. Тогда отображение <tex>f\rightarrow \alpha _{i} </tex> (то есть такое, которое по заданной функции определяет ее коэффициенты при членах полинома Жегалкина) является:
  
: <math>\alpha _{i} = \bigoplus _{j\preceq  i} f(j)</math>
+
: <math>\alpha _{i} = \bigoplus _{j\preceq  m(i)} f(j)</math>
  
 
Такое отображение также называется '''преобразованием Мёбиуса'''.
 
Такое отображение также называется '''преобразованием Мёбиуса'''.
 +
----
 +
<br/>
 +
Очевидно, функцию <tex> f </tex> можно записать и следующим образом:
 +
 +
: <math> f(x) = \bigoplus _{i} \alpha _{i} \cdot [x _{1} , \; \text {if} \; m _{1}] \cdot [x _{2} , \; \text {if} \; m _{2}] \cdot ... </math>
 +
 +
Запись <tex>[x _{k} , \; \text {if} \; m _{k}]</tex> означает, что элелемент <tex> x_{k} </tex> присутствует в соответствующем члене полинома только если <tex> m_{k} = 1 </tex>.
 +
Отсюда ясно, что
 +
 +
: <math> f(x) = \bigoplus _{m(i) \leq i} \alpha _{i} </math>.
 +
 +
Таким образом видно, что, если применить '''преобразование Мёбиуса''' к функции дважды, то вновь получим исходную функцию. То есть '''преобразование Мёбиуса''' обратно самому себе.

Версия 09:17, 5 октября 2010

Эта статья находится в разработке!

Пусть задана булева функция [math]f: B^n \rightarrow B, \;\; B=\{ 0; 1 \}[/math]. Любая булева функция представима в виде полинома Жегалкина, притом единственным образом. То есть

[math]f(x_{1},x_{2},...x_{n}) = \bigoplus _{1\leq k \leq n} \left [\bigoplus _{1\leq i_{1}\lt i_{2}\lt ..\lt i_{k} \leq n} \alpha _{i_{1}i_{2},..i_{k}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{k}} \right ],[/math]
где [math]\alpha _{i} \in \{ 0; 1 \}[/math]    ([math]i[/math] - вектор из [math]i_{1}, i_{2},.. i_{k}[/math]).


Пусть [math] m(i) = (m _{1}, m _{2}, .. m _{n}), \;\;[/math] где для всех индексов [math]t=i _{k}, \;\; m _{t} = 1[/math], а для остальных индексов [math]t \neq i _{k}, \; m _{t} = 0[/math]. Тогда отображение [math]f\rightarrow \alpha _{i} [/math] (то есть такое, которое по заданной функции определяет ее коэффициенты при членах полинома Жегалкина) является:

[math]\alpha _{i} = \bigoplus _{j\preceq m(i)} f(j)[/math]

Такое отображение также называется преобразованием Мёбиуса.



Очевидно, функцию [math] f [/math] можно записать и следующим образом:

[math] f(x) = \bigoplus _{i} \alpha _{i} \cdot [x _{1} , \; \text {if} \; m _{1}] \cdot [x _{2} , \; \text {if} \; m _{2}] \cdot ... [/math]

Запись [math][x _{k} , \; \text {if} \; m _{k}][/math] означает, что элелемент [math] x_{k} [/math] присутствует в соответствующем члене полинома только если [math] m_{k} = 1 [/math]. Отсюда ясно, что

[math] f(x) = \bigoplus _{m(i) \leq i} \alpha _{i} [/math].

Таким образом видно, что, если применить преобразование Мёбиуса к функции дважды, то вновь получим исходную функцию. То есть преобразование Мёбиуса обратно самому себе.