СНМ(списки с весовой эвристикой) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Оценка для весовой эвристики)
Строка 9: Строка 9:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=При использовании связанных списков для представления СНМ и применении весовой эвристики, последовательность из <tex>m</tex> операций MAKE_SET, UNION, и FIND_SET, <tex>n</tex> из которых составляют операции MAKE_SET, требует для выполнения <tex>O(m+n </tex> lg <tex> n)</tex> времени.
 
|statement=При использовании связанных списков для представления СНМ и применении весовой эвристики, последовательность из <tex>m</tex> операций MAKE_SET, UNION, и FIND_SET, <tex>n</tex> из которых составляют операции MAKE_SET, требует для выполнения <tex>O(m+n </tex> lg <tex> n)</tex> времени.
|proof = Вычислим верхнюю границу количества обновлений указателя на представителя для каждого множества из <tex>n</tex> элементов. Рассмотрим некий фиксированный объект. Когда мы обновляем указатель на представителя в объекте, он должен находиться в меньшем из множестав. Следовательно, при первом обновлении образованное множество хранит не менее 2 элементов, при втором не менее 4 элементов, и т.д. Таким образом, при <tex>k \leqslant\ n</tex>, после того как указатель на представителя в объекте обновлен <tex>\left\lceil lg\ k \right\rceil</tex>, полученное в результате множество должно иметь не менее <tex>k</tex> элементов. Но максимальное множество может иметь не более <tex>n</tex> элементов. Значит указатель на каждом объекте поменяется не более <tex>\left\lceil lg\ n \right\rceil</tex> раз. Обновления <tex>head</tex> и <tex>tail</tex> и длины списка, для выполнения операции UNION требуется <tex>O(1)</tex> времени. Таким образом, общее время, для обновления <tex>n</tex> объектов, составляет <tex>O(n </tex> lg <tex> n)</tex>}}
+
|proof = Вычислим верхнюю границу количества обновлений указателя на представителя для каждого множества из <tex>n</tex> элементов. Рассмотрим некий фиксированный объект. Когда мы обновляем указатель на представителя в объекте, он должен находиться в меньшем из множеств. Следовательно, после первом обновлении образованное множество хранит не менее 2 элементов, при втором не менее 4 элементов, и т.д. Таким образом, при <tex>k \leqslant\ n</tex>, после того как указатель на представителя в объекте обновлен <tex>\left\lceil lg\ k \right\rceil</tex>, полученное в результате множество должно иметь не менее <tex>k</tex> элементов. Но максимальное множество может иметь не более <tex>n</tex> элементов. Значит указатель на каждом объекте поменяется не более <tex>\left\lceil lg\ n \right\rceil</tex> раз. Обновления <tex>head</tex> и <tex>tail</tex> и длины списка, для выполнения операции UNION требуется <tex>O(1)</tex> времени. Таким образом, общее время, для обновления <tex>n</tex> объектов, составляет <tex>O(n </tex> lg <tex> n)</tex>}}
  
 
*Т. Кормен и остальные. Весовая эвристика, стр. 587 (2е издание)
 
*Т. Кормен и остальные. Весовая эвристика, стр. 587 (2е издание)

Версия 21:52, 22 марта 2011

Весовая эвристика

Определение:
Весовая эвристика - улучшение наивной реализации СНМ, при котором список включает поле длины списка, и добавление идет всегда меньшего списка к большему.


Оценка для весовой эвристики

Утверждение:
При использовании связанных списков для представления СНМ и применении весовой эвристики, последовательность из [math]m[/math] операций MAKE_SET, UNION, и FIND_SET, [math]n[/math] из которых составляют операции MAKE_SET, требует для выполнения [math]O(m+n [/math] lg [math] n)[/math] времени.
[math]\triangleright[/math]
Вычислим верхнюю границу количества обновлений указателя на представителя для каждого множества из [math]n[/math] элементов. Рассмотрим некий фиксированный объект. Когда мы обновляем указатель на представителя в объекте, он должен находиться в меньшем из множеств. Следовательно, после первом обновлении образованное множество хранит не менее 2 элементов, при втором не менее 4 элементов, и т.д. Таким образом, при [math]k \leqslant\ n[/math], после того как указатель на представителя в объекте обновлен [math]\left\lceil lg\ k \right\rceil[/math], полученное в результате множество должно иметь не менее [math]k[/math] элементов. Но максимальное множество может иметь не более [math]n[/math] элементов. Значит указатель на каждом объекте поменяется не более [math]\left\lceil lg\ n \right\rceil[/math] раз. Обновления [math]head[/math] и [math]tail[/math] и длины списка, для выполнения операции UNION требуется [math]O(1)[/math] времени. Таким образом, общее время, для обновления [math]n[/math] объектов, составляет [math]O(n [/math] lg [math] n)[/math]
[math]\triangleleft[/math]
  • Т. Кормен и остальные. Весовая эвристика, стр. 587 (2е издание)