Свойства перечислимых языков. Теорема Успенского-Райса — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема Успенского-Райса)
(Теорема Успенского-Райса)
Строка 38: Строка 38:
 
Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо и нетривиально, <tex>p_A</tex> {{---}} программа, разрешающая <tex>A</tex>.
 
Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо и нетривиально, <tex>p_A</tex> {{---}} программа, разрешающая <tex>A</tex>.
  
Не умаляя общности, можно считать, что <tex>\varnothing \notin A</tex> (в противном случае перейдём к <tex> \mathrm {RE} \setminus A</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как <tex> \mathrm {RE} \setminus A</tex> и <tex> \mathrm {RE} \setminus A</tex> ).  
+
Не умаляя общности, можно считать, что <tex>\varnothing \notin A</tex> (в противном случае перейдём к <tex> \mathrm {RE} \setminus A</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как <tex> \mathrm {RE} \setminus A != \varnothing </tex> и <tex> \mathrm {RE} \setminus A != \mathrm {RE} </tex> ).  
  
 
Поскольку <tex>A</tex> непусто, то найдётся перечислимый язык <tex>X \in A</tex>. Пусть <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.
 
Поскольку <tex>A</tex> непусто, то найдётся перечислимый язык <tex>X \in A</tex>. Пусть <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.

Версия 23:38, 12 декабря 2014

Свойства языков

Рассмотрим множество всех перечислимых языков [math] \mathrm {RE} [/math].

Определение:
Свойством языков (англ. property of languages) называется множество [math] A \subset \mathrm {RE} [/math].

Пример.

Свойство языка, язык содержит слова hello.

Определение:
Свойство называется тривиальным (англ. trivial), если [math] A = \varnothing [/math] или [math] A = \mathrm {RE} [/math].

Псевдокод для [math] A = \varnothing [/math]

p(A)
  return false

Псевдокод для [math] A = \mathrm {RE} [/math].

p(A)
  return true
Определение:
Язык свойства (англ. language of property) [math] A [/math] — множество программ, языки которых обладают этим свойством: [math]L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace [/math].

Пример. Пусть [math]p_X[/math] — разрешитель некоторого языка

p([math]p_X[/math])
  return [math]p_X[/math]('hello')
Определение:
Свойство [math] A [/math] называется разрешимым (англ. recursive), если [math]L(A) [/math] является разрешимым.


Теорема Успенского-Райса

Теорема:
Язык никакого нетривиального свойства не является разрешимым.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведём доказательство от противного.

Предположим, что [math]A[/math] разрешимо и нетривиально, [math]p_A[/math] — программа, разрешающая [math]A[/math].

Не умаляя общности, можно считать, что [math]\varnothing \notin A[/math] (в противном случае перейдём к [math] \mathrm {RE} \setminus A[/math], которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как [math] \mathrm {RE} \setminus A != \varnothing [/math] и [math] \mathrm {RE} \setminus A != \mathrm {RE} [/math] ).

Поскольку [math]A[/math] непусто, то найдётся перечислимый язык [math]X \in A[/math]. Пусть [math]p_X[/math] — полуразрешитель [math]X[/math].

Рассмотрим вспомогательную программу:

[math]g_{i,x}(y):[/math]
 if U(i, x) == 1  //если i на входе x выдает 1
    return [math]p_X(y)[/math]
 else
    while true

Нетрудно понять, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным [math]i[/math] и [math]x[/math]. Значит, можно рассмотреть такую программу:

[math]US(\langle i, x \rangle )[/math]
  return [math]p_A ( g_{i,x} ) [/math]

Заметим, что [math] L(g_{i,x}) = \begin{cases} X, & U(i, x) = 1; \\ \varnothing, & U(i, x) \neq 1; \\ \end{cases} [/math]

Следовательно,
[math] US(\langle i, x \rangle ) = p_A(g_{i,x}) = \begin{cases} p_A(p_X), & U(i, x) = 1; \\ p_A(p_\varnothing ), & U(i, x) \neq 1; \\ \end{cases} = \begin{cases} 1, & U(i, x) = 1; \\ 0, & U(i, x) \neq 1; \\ \end{cases} [/math] — программа, разрешающая универсальное множество. Получили противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

  • Wikipedia — Rice's theorem
  • Rice, H. G. "Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.
  • Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений.