Сингулярное разложение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 1: Строка 1:
'''Сингулярное разложение''' декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к каноническому виду.
+
'''Сингулярное разложение''' (англ. ''Singular Value Decomposition'') {{---}} декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к каноническому виду.
  
 +
{{Теорема
 +
|author=Сингулярное разложение
 +
|statement=
 +
У любой матрицы <tex> A </tex> размера <tex> n \times m </tex> существует разложение на матрицы <tex> U, \Sigma, V^T </tex>: <tex> A_{n \times m} = U_{n \times n} \times \Sigma_{n \times m} \times V^T_{m \times m} </tex>.<br/>
 +
<tex>\mathrm{P} \neq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{NP} \setminus (\mathrm{P} \cup \mathrm{NPC}) \neq \varnothing</tex>.
 +
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''SVD''' (англ. ''Single Value Decomposition'') {{---}} у любой матрицы <tex> A </tex> размера <tex> n \times m </tex> существует разложение на матрицы <tex> U, \Sigma, V^T </tex>: <tex> A_{n \times m} = U_{n \times n} \times \Sigma_{n \times m} \times V^T_{m \times m} </tex>.<br/>
+
'''SVD''' (англ. ''Singular Value Decomposition'') {{---}} у любой матрицы <tex> A </tex> размера <tex> n \times m </tex> существует разложение на матрицы <tex> U, \Sigma, V^T </tex>: <tex> A_{n \times m} = U_{n \times n} \times \Sigma_{n \times m} \times V^T_{m \times m} </tex>.<br/>
 
}}
 
}}
  

Версия 22:15, 18 декабря 2020

Сингулярное разложение (англ. Singular Value Decomposition) — декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к каноническому виду.

Теорема (Сингулярное разложение):
У любой матрицы [math] A [/math] размера [math] n \times m [/math] существует разложение на матрицы [math] U, \Sigma, V^T [/math]: [math] A_{n \times m} = U_{n \times n} \times \Sigma_{n \times m} \times V^T_{m \times m} [/math].
[math]\mathrm{P} \neq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{NP} \setminus (\mathrm{P} \cup \mathrm{NPC}) \neq \varnothing[/math].
Определение:
SVD (англ. Singular Value Decomposition) — у любой матрицы [math] A [/math] размера [math] n \times m [/math] существует разложение на матрицы [math] U, \Sigma, V^T [/math]: [math] A_{n \times m} = U_{n \times n} \times \Sigma_{n \times m} \times V^T_{m \times m} [/math].


Свойства

Пусть [math] F [/math][math] l \times n [/math] матрица. Тогда [math] F [/math] можно представить в следующем виде:

[math] F = V D U^T [/math].

Основные свойства сингулярного разложения:

  • [math] l \times n [/math]-матрица [math] V = (v_1, \dots, v_n) [/math] ортогональна, [math] V^T V = I_n [/math],
    столбцы [math] v_j [/math] — собственные векторы матрицы [math] F F^T [/math];
  • [math] n \times n [/math]-матрица [math] U = (u_1, \dots, u_n) [/math] ортогональна, [math] U^T U = I_n [/math],
    столбцы [math] u_j [/math] — собственные векторы матриц [math] F^T F [/math];
  • [math] n \times n [/math]-матрица [math] D [/math] диагональна, [math] D = diag(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n}) [/math],
    [math] \lambda_j \geq 0 [/math] — собственные значения матриц [math] F^T F [/math] и [math] F F^T [/math],
    [math] \sqrt{ \lambda_j } [/math] — сингулярные числа матрицы [math] F [/math].