Список заданий по ДМ 2к 2018 осень

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
  1. Постройте граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами. Здесь и далее "постройте граф с $n$ вершинами, ..." означает, что вы должны рассказать способ для любого $n$ построить искомый граф, либо рассказать, для каких $n$ такой граф существует и указать способ его построить, а для остальных $n$ доказать, что такого графа не существует. Аналогично следует поступить с другими параметрами, указанными в условии задачи.
  2. Обозначим как $N(u)$ множество соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N(u)$ совпадают для всех вершин $u$.
  3. Обозначим как $N[u]$ множество, содержащее вершину $u$, а также соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N[u]$ совпадают для всех вершин $u$.
  4. Постройте граф с $n$ вершинами, где каждая вершина имеет степень $d$.
  5. Докажите, что любой граф, содержащий хотя бы две вершины, имеет две вершины одинаковой степени.
  6. Обозначим как $\delta(G)$ минимальную степень вершины в графе, как $\Delta(G)$ - максимальную степень вершины в графе. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) + \Delta(G) > n$.
  7. Постройте двудольный граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) + \Delta(G) > n$.
  8. Пусть для двудольного графа выполнено условие: для любой пары не соединенных ребром вершин есть вершина, связанная с обеими этими вершинами. Как устроен такой граф?
  9. Докажите, что для любого графа $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ имеют общий делитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$.
  10. Граф называется кубическим, если степень всех вершин равна 3. Три вершины графа образуют треугольник, если они попарно соединены ребром. Постройте кубический граф с $n$ вершинами, не содержащий треугольников.
  11. Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Приведите примеры самодополнительных графов с 4 и 5 вершинами. Докажите, что если граф является самодополнительным, то он содержит либо $4n$ либо $4n+1$ вершину для некоторого целого положительного $n$.
  12. Докажите, что для любого целого положительного $n$ существует самодополнительный граф, содержащий $4n$ вершин, а также самодополнительный граф, содержащий $4n+1$ вершину.
  13. Докажите, что каждый циклический путь нечетной длины содержит простой цикл.
  14. Докажите или опровергните, что объединение двух любых различных простых путей из вершины $u$ в вершину $v$ содержит цикл.
  15. Докажите, что граф связен тогда и только тогда когда для любого разбиения его множества вершин $V$ на два непустых непересекающихся множества $X$ и $Y$ существует ребро, соединяющее эти множества.
  16. Докажите, что в связном графе любые два самых длинных простых пути имеют общую вершину.
  17. Докажите или опровергните, что в связном графе все самые длинные простые пути имеют общую вершину.
  18. Обозначим как $\delta(G)$ минимальную степень вершины в графе. Докажите, что если в графе с $n$ вершинами $\delta(G) > (n - 1) / 2$, то он связен.
  19. Докажите, что либо граф $G$, либо его дополнение $\overline{G}$ связен.
  20. Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями.
  21. Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем четных простых циклов.
  22. Докажите, что граф с $n$ вершинами и $n + 4$ ребрами содержит два простых цикла, не имеющих общих ребер.
  23. Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения.
  24. Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
  25. Какое максимальное число точек сочленения может быть в графе с $n$ вершинами?
  26. Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это $R^*$.
  27. Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
  28. Каждое дерево является двудольным графом. А какие деревья являются полными двудольными графами?
  29. Доказать, что следующие четыре утверждения для связного графа $G$ эквивалентны: (1) любое ребро является мостом (2) $G$ является деревом (3) любой блок $G$ является $K_2$ (4) любое непустое пересечение связных подграфов $G$ связно.
  30. Доказать, что следующие четыре утверждения для связного графа $G$ эквивалентны: (1) $G$ содержит ровно один простой цикл (2) число вершин и ребер $G$ совпадает (3) $G$ можно превратить в дерево удалением ровно одного ребра (4) множество ребер $G$, которые не являются мостами, образуют один простой цикл.
  31. Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
  32. Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
  33. Докажите, что если $v$ — точка сочленения в $G$, то $v$ не точка сочленения в $\overline G$.
  34. Опишите все деревья с диаметром 2.
  35. Опишите все деревья с диаметром 3.
  36. Опишите дерево с кодом Прюфера $(i, i,\ldots , i)$.
  37. Опишите деревья, в коде Прюфера которых нет одинаковых чисел.
  38. Докажите, что число помеченных неподвешенных деревьев есть $n^{n-2}$, используя теорему Кирхгофа.
  39. Сколько остовных деревьев у полного двудольного графа $K_{n,m}$?
  40. Приведите пример графа с двумя непересекающимися остовными деревьями.
  41. Какое максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев может быть в графе с $n$ вершинами?
  42. Пусть связный граф $G$ имеет диаметр $d$. Докажите или опровергните, что у $G$ есть остовное дерево с диаметром $d$.
  43. Рассмотрим множество остовных деревьев связного графа $G$. Построим граф $S_G$, вершинами которого являются остовные деревья $G$, а две вершины $T_1$ и $T_2$ соединены ребром, если дерево $T_2$ можно получить из $T_1$ удалением одного ребра и добавлением другого. Докажите, что $S_G$ является связным.
  44. Докажите, что две вершины $T_1$ и $T_2$ в $S_G$ соединены ребром тогда и только тогда, когда их объединение содержит ровно один простой цикл.
  45. Пусть связный граф $G$ содержит $n$ вершин, докажите, что диаметр $S_G$ не превышает $n - 1$.
  46. Приведите пример связного графа $G$, содержащего $n$ вершин, для которого граф $S_G$ имеет диаметр $n - 1$.
  47. Докажите, что для любого $1 \le k \le n - 1$ существует связный граф $G$, содержащий $n$ вершин, такой что диаметр $S_G$ равен $n - k$.
  48. Зафиксируем дерево $T$. Рассмотрим функцию от вершины $x$: $d(x) = \sum_v dist(x, v)$, где $dist(x, v)$ - расстояние между вершинами $x$ и $v$ в ребрах. Пусть $y$ и $z$ - различные соседи вершины $x$. Докажите, что $2d(x) < d(y) + d(z)$.
  49. Центром дерева называется вершина $x$, для которой $max_v(dist(x, v))$ минимален. Докажите, что у дерева 1 или 2 центра, и любой центр дерева лежит на его любом диаметре.
  50. Барицентром дерева называется вершина $x$, для которой $\sum_v(dist(x, v))$ минимальная. Докажите, что у дерева 1 или 2 барицентра.
  51. Докажите, что для любого $k$ существует дерево, для которого расстояние между центром и барицентром не меньше $k$.
  52. Докажите, что если в связном графе есть реберно простой цикл длины $k$, то у графа есть не менее $k$ остовных деревьев.
  53. Обозначим как $\lambda(G)$ минимальное число ребер, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность, $\kappa(G)$ - минимальное число вершин, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность (для полного графа полагаем $\kappa(G)=n-1$). Докажите, что $\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$.
  54. Докажите. что для любых $1 \le \kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$ существует граф $G$ с такими параметрами.
  55. Докажите, что не существует графов с $\kappa(G) = 3$ и $7$ ребрами.
  56. Пусть $G$ - полный двудольный граф, за исключением $K_{2,2}$. Докажите $\lambda(G)=\delta(G)$, почем единственный способ удалить $\lambda(G)$ ребер, чтобы граф потерял связность - удалить все ребра, инцидентные одной из вершин.