Теорема Татта о существовании полного паросочетания — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Теорема Татта)
м
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition =<tex>o(\mathbb{G})</tex> {{---}} число нечетных компонент связности в графе <tex>\mathbb{G}</tex>, где '''нечетная компонента''' (odd component) {{---}} это компонента связности, содержащая нечетное число вершин.  
+
|definition =<tex>odd(\mathbb{G})</tex> {{---}} число нечетных компонент связности в графе <tex>\mathbb{G}</tex>, где '''нечетная компонента''' (odd component) {{---}} это [[Отношение связности, компоненты связности#def2|компонента связности]], содержащая нечетное число вершин.  
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition ='''Множество Татта''' графа <tex>\mathbb{G}</tex> {{---}} множество <tex>S \subset \mathbb{V_{G}}</tex>, для которого выполнено условие: <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) > \left\vert S \right\vert</tex>
+
|definition ='''Множество Татта''' графа <tex>\mathbb{G}</tex> {{---}} множество <tex>S \subset \mathbb{V_{G}}</tex>, для которого выполнено условие: <tex>odd(\mathbb{G} \setminus S) > \left\vert S \right\vert</tex>
 
}}
 
}}
  
 
==Критерий Татта==
 
==Критерий Татта==
Пусть <tex>\mathbb{G'}</tex> {{---}} граф, полученный из <tex>\mathbb{G}=<\mathbb{V},\mathbb{E}></tex> добавлением ребер, при этом в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого нового ребра.
+
Пусть <tex>\mathbb{G'}</tex> {{---}} граф, полученный из <tex>\mathbb{G}=<\mathbb{V},\mathbb{E}></tex> добавлением ребер, при этом в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет [[Теорема Холла#def1|полного паросочетания]], но оно появляется при добавлении любого нового ребра.
  
 
Так как новых вершин не добавлялось, то <tex>\mathbb{G'}=<\mathbb{V},\mathbb{E'}></tex>
 
Так как новых вершин не добавлялось, то <tex>\mathbb{G'}=<\mathbb{V},\mathbb{E'}></tex>
Строка 37: Строка 37:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=В графе <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\forall S \subset \mathbb{V}</tex> выполнено условие: <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>  
+
|statement=В графе <tex>\mathbb{G}</tex> существует полное паросочетание <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\forall S \subset \mathbb{V}</tex> выполнено условие: <tex>odd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>  
 
|proof =
 
|proof =
 
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G}</tex> и множество вершин <tex>S \subset \mathbb{V}</tex>.
 
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G}</tex> и множество вершин <tex>S \subset \mathbb{V}</tex>.
  
Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> \mathbb{G} \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.
+
Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> \mathbb{G} \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>odd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.
  
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть для графа <tex>\mathbb{G}</tex> выполнено, что <tex>o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>, но полного паросочетания в этом графе не существует.
+
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть для графа <tex>\mathbb{G}</tex> выполнено, что <tex>odd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>, но полного паросочетания в этом графе не существует.
  
Рассмотрим граф <tex>\mathbb{G'}</tex> и множество вершин <tex>U</tex> (из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то <tex>\forall S \subset \mathbb{V}</tex> выполнено <tex>o(\mathbb{G'} \setminus S) \leqslant o(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. По лемме, доказанной выше: <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
+
Рассмотрим граф <tex>\mathbb{G'}</tex> и множество вершин <tex>U</tex> (из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то <tex>\forall S \subset \mathbb{V}</tex> выполнено <tex>odd(\mathbb{G'} \setminus S) \leqslant odd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. По лемме, доказанной выше: <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
  
Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества <tex>U</tex>. При этом мы будем использовать различные вершины из <tex>U</tex>, это возможно, так как <tex>o(\mathbb{G'} \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert</tex>. Если все вершины множества <tex>U</tex> оказались покрытыми, то мы получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>. Противоречие, так как по построению в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания.
+
Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа <tex>\mathbb{G'} \setminus U</tex> мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества <tex>U</tex>. При этом мы будем использовать различные вершины из <tex>U</tex>, это возможно, так как <tex>odd(\mathbb{G'} \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert</tex>. Если все вершины множества <tex>U</tex> оказались покрытыми, то мы получили полное паросочетание в графе <tex>\mathbb{G'}</tex>. Противоречие, так как по построению в <tex>\mathbb{G'}</tex> нет полного паросочетания.
  
Значит, в <tex>U</tex> осталось какое-то количество непокрытых вершин, при этом их четное число, потому что число вершин в <tex>\mathbb{G'}</tex> четно, так как <tex>o(\mathbb{G'} \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0</tex> и уже покрыто паросочетанием четное число вершин. Так как в множество <tex>U</tex> входят вершины, которые в <tex>\mathbb{G'}</tex> смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием.
+
Значит, в <tex>U</tex> осталось какое-то количество непокрытых вершин, при этом их четное число, потому что число вершин в <tex>\mathbb{G'}</tex> четно, так как <tex>odd(\mathbb{G'} \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0</tex> и уже покрыто паросочетанием четное число вершин. Так как в множество <tex>U</tex> входят вершины, которые в <tex>\mathbb{G'}</tex> смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием.
  
 
Таким образом, получили в <tex>\mathbb{G'}</tex> полное паросочетание, что противоречит тому, как мы задали этот граф изначально.  
 
Таким образом, получили в <tex>\mathbb{G'}</tex> полное паросочетание, что противоречит тому, как мы задали этот граф изначально.  

Версия 10:18, 3 января 2014

Определение:
[math]odd(\mathbb{G})[/math] — число нечетных компонент связности в графе [math]\mathbb{G}[/math], где нечетная компонента (odd component) — это компонента связности, содержащая нечетное число вершин.


Определение:
Множество Татта графа [math]\mathbb{G}[/math] — множество [math]S \subset \mathbb{V_{G}}[/math], для которого выполнено условие: [math]odd(\mathbb{G} \setminus S) \gt \left\vert S \right\vert[/math]


Критерий Татта

Пусть [math]\mathbb{G'}[/math] — граф, полученный из [math]\mathbb{G}=\lt \mathbb{V},\mathbb{E}\gt [/math] добавлением ребер, при этом в [math]\mathbb{G'}[/math] нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого нового ребра.

Так как новых вершин не добавлялось, то [math]\mathbb{G'}=\lt \mathbb{V},\mathbb{E'}\gt [/math]

Пусть [math] U = \{ v \in \mathbb{V}: deg_{G'} (v) = n - 1 \}[/math].

Очевидно, что [math]\left\vert U \right\vert \ne n[/math], потому что [math]\mathbb{G'}[/math] — не полный граф.

Лемма:
[math]\mathbb{G'} \setminus U[/math] — объединение несвязных полных графов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть это не так, тогда существуют вершины [math]x,y,z \in \mathbb{V} \setminus U[/math], такие что [math]xy, yz \in \mathbb{E'}[/math], но [math]xz \notin \mathbb{E'}[/math]. Так как [math]y \notin U[/math], то [math]\exists t \notin U: yt \notin \mathbb{E'}[/math].

По построению [math]\mathbb{G'}[/math] в графе [math]\mathbb{G'}+xz[/math] существует полное паросочетание [math]M_1[/math]. Аналогично, в графе [math]\mathbb{G'}+yt[/math] существует полное паросочетание [math]M_2[/math]. Так как в [math]\mathbb{G'}[/math] нет полного паросочетания, то [math]xz \in M_1[/math] и [math]yt \in M_2[/math].

Возможны два случая:

  • Вершины [math]x,z[/math] и [math]y,t[/math] лежат в разных полных подграфах графа [math]\mathbb{G'} \setminus U[/math], обозначим их [math]H_1[/math] и [math]H_2[/math], соответственно.
К доказательству 2-ого пункта леммы.

Покроем вершины подграфа [math]H_1[/math] паросочетанием [math]M_2[/math], при этом заметим, что ребро [math]xz[/math] не входит в это паросочетание. Аналогично покроем паросочетанием [math]M_1[/math] вершины подрафа [math]H_2[/math] и ребро [math]yt[/math] не войдет в это паросочетание. Если остались непокрытые вершины, то покроем их ребрами из любого паросочетания [math]M_1[/math] или [math]M_2[/math]. Таким образом, мы получим полное паросочетание в графе [math]\mathbb{G'}[/math], что противоречит его построению.

  • Вершины [math]x,y,z[/math] и [math]t[/math] лежат в одном подграфе графа [math]\mathbb{G'} \setminus U[/math].

Построим граф [math]H[/math], такой что [math]\mathbb{V_\mathbb{H}}=\mathbb{V}[/math] и [math]\mathbb{E_\mathbb{H}}=M_1 \oplus M_2[/math] (симметрическая разность). Получим, что вершины [math]x,y,z[/math] и [math]t[/math] лежат на каком-то чередующемся цикле. В силу симметричности [math]x[/math] и [math]z[/math] можно считать, что вершины расположены в порядке [math]tzxy[/math]. Тогда существует путь [math]P_1=t..zx..y[/math] и полное паросочетание в нем, следовательно существует и путь [math]P_2=t..zy..x[/math], содержащий только ребра графа [math]\mathbb{G'}[/math]. Тогда на пути [math]x..y[/math] возьмем ребра из паросочетания [math]M_2[/math], а на пути [math]t..z[/math] - ребра из паросочетания [math]M_1[/math]. Непокрытыми остались вершины [math]z[/math] и [math]y[/math], которые мы покроем ребром [math]yz[/math]. Вершины, не принадлежащие рассматриваемому циклу, покроем ребрами любого из паросочетаний [math]M_1, M_2[/math] (выберем ребра одного из них). Таким образом, получили полное паросочетание в графе [math]\mathbb{G'}[/math], противоречие.

В каждом из возможных случаев получили противоречие, значит, наше начальное предположение тоже неверно и [math]\mathbb{G'} \setminus U[/math] — объединение несвязных полных графов, лемма доказана.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Татта

Теорема:
В графе [math]\mathbb{G}[/math] существует полное паросочетание [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\forall S \subset \mathbb{V}[/math] выполнено условие: [math]odd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Рассмотрим [math]M[/math] — полное паросочетание в графе [math]\mathbb{G}[/math] и множество вершин [math]S \subset \mathbb{V}[/math].

Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа [math] \mathbb{G} \setminus S[/math] соединена ребром паросочетания [math]M[/math] с какой-то вершиной из [math]S[/math]. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что [math]odd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert[/math].

[math]\Leftarrow[/math] Пусть для графа [math]\mathbb{G}[/math] выполнено, что [math]odd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert[/math], но полного паросочетания в этом графе не существует.

Рассмотрим граф [math]\mathbb{G'}[/math] и множество вершин [math]U[/math] (из леммы). Так как число нечетных компонент не увеличивается при добавлении новых ребер, то [math]\forall S \subset \mathbb{V}[/math] выполнено [math]odd(\mathbb{G'} \setminus S) \leqslant odd(\mathbb{G} \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert[/math]. По лемме, доказанной выше: [math]\mathbb{G'} \setminus U[/math] — объединение несвязных полных графов.

Очевидно, что в каждой четной компоненте связности графа [math]\mathbb{G'} \setminus U[/math] мы можем построить полное паросочетание. В каждой нечетной компоненте этого графа построим паросочетание, которое покрывает все вершины кроме одной, оставшуюся непокрытой вершину, соединим с какой-то вершиной множества [math]U[/math]. При этом мы будем использовать различные вершины из [math]U[/math], это возможно, так как [math]odd(\mathbb{G'} \setminus U) \leqslant \left\vert U \right\vert[/math]. Если все вершины множества [math]U[/math] оказались покрытыми, то мы получили полное паросочетание в графе [math]\mathbb{G'}[/math]. Противоречие, так как по построению в [math]\mathbb{G'}[/math] нет полного паросочетания.

Значит, в [math]U[/math] осталось какое-то количество непокрытых вершин, при этом их четное число, потому что число вершин в [math]\mathbb{G'}[/math] четно, так как [math]odd(\mathbb{G'} \setminus \varnothing) \leqslant \left\vert \varnothing \right\vert = 0[/math] и уже покрыто паросочетанием четное число вершин. Так как в множество [math]U[/math] входят вершины, которые в [math]\mathbb{G'}[/math] смежны со всеми остальными, то мы сможем разбить оставшиеся вершины на пары и покрыть их паросочетанием.

Таким образом, получили в [math]\mathbb{G'}[/math] полное паросочетание, что противоречит тому, как мы задали этот граф изначально.

Значит, начальное предположение не верно, и в [math]\mathbb{G}[/math] существует полное паросочетание.
[math]\triangleleft[/math]

Литература