|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | =Список аксиом логики(просто для себя):=
| |
| | | | |
| − | ==Аксиомы системы исчисления высказываний==
| |
| − | <tex>
| |
| − | (1) (\phi) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\phi))\\
| |
| − | (2) ((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow (\pi))\\
| |
| − | (3) (\phi) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\phi) \& (\psi)\\
| |
| − | (4) (\phi) \& (\psi) \rightarrow (\phi)\\
| |
| − | (5) (\phi) \& (\psi) \rightarrow (\psi)\\
| |
| − | (6) (\phi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)\\
| |
| − | (7) (\psi) \rightarrow (\phi) \vee (\psi)\\
| |
| − | (8) ((\phi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\psi) \rightarrow (\pi)) \rightarrow ((\phi) \vee (\psi) \rightarrow (\pi))\\
| |
| − | (9) ((\phi) \rightarrow (\psi)) \rightarrow ((\phi) \rightarrow \neg (\psi)) \rightarrow \neg (\phi)\\
| |
| − | (10) \neg \neg (\phi) \rightarrow (\phi)\\
| |
| − | </tex>
| |
| − |
| |
| − | ==Аксиомы предикатов==
| |
| − | <tex>
| |
| − | (11) \forall{x}(\psi) \rightarrow (\psi[x := \alpha])\\
| |
| − | (12) (\psi[x := \alpha]) \rightarrow \exists{x}(\psi) \\
| |
| − | </tex>
| |
| − |
| |
| − | ==Аксиоматика Пеано==
| |
| − | <tex>
| |
| − | (A1) a = b \rightarrow a' = b' \\
| |
| − | (A2) a = b \rightarrow a = c \rightarrow b = c \\
| |
| − | (A3) a' = b' \rightarrow a = b \\
| |
| − | (A4) \neg a' = 0 \\
| |
| − | (A5) a + b' = (a+b)' \\
| |
| − | (A6) a + 0 = a \\
| |
| − | (A7) a \cdot 0 = a \\
| |
| − | (A8) a \cdot b' = a \cdot b + a \\
| |
| − | (A9) (\psi [x := 0]) \& \forall{x}((\psi) \rightarrow (\psi) [x := x']) \rightarrow (\psi)\\
| |
| − | </tex>
| |
| − |
| |
| − | ==Аксиоматика теории групп==
| |
| − | <tex>
| |
| − | (E1) a = b \rightarrow (a = c \rightarrow b = c)\\
| |
| − | (E2) a = b \rightarrow (a \cdot c = b \cdot c)\\
| |
| − | (E3) a = b \rightarrow (c \cdot a = c \cdot b)\\
| |
| − | (G1) a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\\
| |
| − | (G2) a \cdot 1 = a\\
| |
| − | (G3)a \cdot a ^ {-1} = 1\\
| |
| − | </tex>
| |
| − |
| |
| − | ==Аксиоматика теории множеств==
| |
| − |
| |
| − | ===Аксиома равенства:===
| |
| − | <tex>\forall x \forall y \forall z ((x = y \& x \in z) \rightarrow y \in z)</tex>
| |
| − | ===Аксиома пары:===
| |
| − | <tex>\forall x \forall y (\neg x=y \rightarrow \exists p (x \in p \& y \in p \& \forall z (z \in p \rightarrow (z = x \vee z = y)))</tex>
| |
| − | ===Аксиома объединения===
| |
| − | <tex>\forall x (\exists y y \in x \rightarrow \exists p \forall y (y \in p \leftrightarrow \exists s (y \in s \& s \in x)))</tex>
| |
| − | ===Аксиома степени===
| |
| − | <tex>\forall x \exists p \forall y (y \subseteq p \leftrightarrow y \in x)</tex>
| |
| − | ===Аксиома выделения===
| |
| − | <tex>\forall x \exists b \forall y (y \in b \leftrightarrow (y \in x \& \phi(y)))</tex>
| |
| − | ===Аксиома выбора===
| |
| − | <tex>\forall a \forall b (b \in a \& \neg(a = \emptyset) \& \neg(b = \emptyset) \rightarrow \neg(\times a = \emptyset)
| |
| − | ===Аксиома бесконечности===
| |
| − | <tex>\emptyset \in N \& \forall x(x \in N \rightarrow x\cup\{x\} \in N)</tex>
| |
| − | ===Аксиома фундирования===
| |
| − | <tex>\forall x (x = \emptyset \vee \exists y (y \in x \& y \cap x = \emptyset))</tex>
| |
| − | ===Аксиома подстановки===
| |
| − |
| |
| − | Если задана некоторая функция f, представимая в исчислении предикатов
| |
| − | (то есть, есть предикат A, что f(x) = y тогда и только тогда,
| |
| − | когда <tex>A(x,y) \& \exists ! z A(x,z)</tex>)
| |
| − | то для любого множества Y существует множество f(Y) — образ
| |
| − | множества Y при отображении f.
| |
