Формула Зыкова — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая статья)
 
(Доказательство)
Строка 8: Строка 8:
 
Зыкова
 
Зыкова
 
|statement=
 
|statement=
[[Хроматический многочлен]] графа <tex>G</tex> <tex>p(G,x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}</tex>, где <tex>pt(G,i)</tex> — число способов разбить вершины <tex>G</tex> на <tex>i</tex> независимых множеств.
+
[[Хроматический многочлен]] графа <tex>G</tex> <tex>P(G,x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}</tex>, где <tex>pt(G,i)</tex> — число способов разбить вершины <tex>G</tex> на <tex>i</tex> независимых множеств.
 
|proof=
 
|proof=
 +
Найдём число <tex>x</tex>-раскрасок графа <tex>G</tex>, в которых используется точно <tex>i</tex> цветов (<tex>1 \le i \le x</tex>). Для получения такой раскраски сначала выберем одним из <tex>pt(G,i)</tex> способов разбиение графа <tex>G</tex> на <tex>i</tex> независимых множеств, а затем одним из <tex>{x\choose i} i! = x^{\underline i}</tex> способов <tex>i</tex> упорядоченных цветов из <tex>x</tex>.
 +
 +
При <tex>i > x</tex> число <tex>x</tex>-раскрасок графа <tex>G</tex>, в которых используется точно <tex>i</tex> цветов равно 0, так же как и <tex>x^{\underline i}</tex>.
 
}}
 
}}
 
== Литература ==
 
== Литература ==

Версия 13:36, 26 октября 2010

Эта статья находится в разработке!
Определение:
Независимым множеством (кокликой, англ. coclique) в графе [math]G[/math] называется непустое [math]S \subset VG: \forall v,u \in S\[/math] ребро [math](v,u) \notin EG[/math].
Теорема (Зыкова):
Хроматический многочлен графа [math]G[/math] [math]P(G,x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}[/math], где [math]pt(G,i)[/math] — число способов разбить вершины [math]G[/math] на [math]i[/math] независимых множеств.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Найдём число [math]x[/math]-раскрасок графа [math]G[/math], в которых используется точно [math]i[/math] цветов ([math]1 \le i \le x[/math]). Для получения такой раскраски сначала выберем одним из [math]pt(G,i)[/math] способов разбиение графа [math]G[/math] на [math]i[/math] независимых множеств, а затем одним из [math]{x\choose i} i! = x^{\underline i}[/math] способов [math]i[/math] упорядоченных цветов из [math]x[/math].

При [math]i \gt x[/math] число [math]x[/math]-раскрасок графа [math]G[/math], в которых используется точно [math]i[/math] цветов равно 0, так же как и [math]x^{\underline i}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  1. Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. — Ижевск: НИЦ «РХД», 2001. — С. 140—141. — ISBN 5-93972-076-5