1
правка
Изменения
→Высота дерева: n в нижнем регистре, так как в некоторых контекстах принято за n и N обозначать разные свойства
== Высота дерева ==
{{Теорема
|statement=АВЛ-дерево с <tex>n</tex> ключами имеет высоту <tex>h = O(\log Nn)</tex>.
||proof=
|statement= Пусть <tex>m_h</tex> {{---}} минимальное число вершин в AVL-дереве высоты <tex>h</tex>, тогда <tex>m_h = F_{h+2} - 1</tex>, где <tex>F_h - h</tex>-ое число Фибоначчи.
|proof=
Если <tex>m_h</tex> {{---}} минимальное число вершин в AVL-дереве высоты <tex>h</tex>. Тогда, как легко видеть, <tex>m_{h+2} = m_{h+1} + m_h + 1</tex>. Равенство <tex>m_h = F_{h+2} - 1</tex> докажем по индукции.
База индукции <tex>m_1 = F_3 - 1</tex> {{---}} верно, <tex>m_1 = 1, F_3 = 2</tex>.
корректировка высоты b
Большой правый левый поворот пишется проще:
'''function''' bigRotateLeft(Node a):
rotateRight(a.right)
=== Идея ===
В обычной реализации АВЛ-дерева в каждом узле мы хранили высоту этого узла. Так как высоты левых и правых поддеревьев в АВЛ-дереве отличаются максимум на <tex>1</tex>, то мы будем хранить не всю высоту дерева, а некоторое число, которое будет показывать, какое поддерево больше, или равны ли они, назовём ''фактор баланса''. Таким образом в каждом узле будет хранится храниться <tex>1</tex> {{---}} если высота правого поддерева выше левого, <tex>0</tex> {{---}} если высоты равны, и <tex>-1</tex> {{---}} если правое поддерево выше левого.
=== Операции ===
'''Операция добавления''' <br>
Пусть нам надо добавить ключ <tex>t</tex>. Будем спускаться по дереву, как при поиске ключа <tex>t</tex>. Если мы стоим в вершине <tex>a</tex> и нам надо идти в поддерево, которого нет, то делаем ключ <tex>t</tex> листом, а вершину <tex>a</tex> его корнем. Пересчитываем баланс данного узла <tex>a</tex>. Если он оказался <tex>0</tex>, то высота поддерева с корнем в этой вершине не изменилась и пересчет балансов останавливается. Дальше начинаем подниматься вверх по дереву, исправляя балансы попутных узлов. Если мы поднялись в вершину <tex>i</tex> из левого поддерева, то баланс увеличивается на единицу, если из правого, то уменьшается на единицу. Если мы пришли в вершину и её баланс стал равным <tex>1</tex> или <tex>-1</tex>, то это значит, что высота поддерева изменилась , и подъём продолжается. Если баланс вершины <tex>a</tex>, в которую мы собираемся идти из ее левого поддерева, равен <tex>1</tex>, то делается поворот для этой вершины <tex>a</tex>. Аналогично делаем поворот, если баланс вершины <tex>a</tex>, в которую мы идем из ее правого поддерева, равен <tex>-1</tex>. Если в результате изменения узла, фактор баланса стал равен нулю, то останавливаемся, иначе продолжаем подъём.
'''Операция удаления''' <br>
Если вершина {{---}} лист, то просто удалим её, иначе найдём ближайшую по значению вершину <tex>a</tex>, поменяем ее местами с удаляемой вершиной и удалим. От удалённой вершины будем подниматься вверх к корню и пересчитывать фактор баланса вершин. Если мы поднялись в вершину <tex>i</tex> из левого поддерева, то фактор баланса уменьшается на единицу, если из правого, то увеличивается на единицу. Если мы пришли в вершину и её баланс стал равным <tex>1</tex> или <tex>-1</tex>, то это значит, что высота поддерева не изменилась , и подъём можно остановить. Если баланс вершины стал равным нулю, то высота поддерева уменьшилась и подъём нужно продолжить. Если баланс вершины <tex>a</tex>, в которую мы собираемся идти из ее левого поддерева, равен <tex>-1</tex>, то делается поворот для этой вершины <tex>a</tex>. Аналогично делаем поворот, если баланс вершины <tex>a</tex>, в которую мы идем из ее правого поддерева, равен <tex>1</tex>. Если в результате изменения узла, фактор баланса стал равен нулю, то подъём продолжается, иначе останавливается.
=== Балансировка ===
