105
правок
Изменения
м
ё
[[Категория: Теория формальных языков]]
==Автоматы с eps<tex dpi = "155">\varepsilon</tex>-переходами==
Конечный автомат с <tex>\varepsilon</tex>-переходами {{---}} конечный автомат, в котором есть возможность совершать переходы по <tex>\varepsilon</tex>.
{{Определение
|definition='''<tex>\varepsilon</tex>-НКА ''' или '''НКА с <tex>\varepsilon</tex>A-переходами''' (англ. ''<tex>\varepsilon</tex> -moves'') {{---}} это набор <tex>A={\langle\Sigma,Q,s,T,\delta\rangle}</tex>, где все компоненты имеют тот же смысл, что и для [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]], за исключением <tex>\delta : Q\times (\Sigma\bigcupcup\{\varepsilon\} ) \to \cal P</tex><tex>(2^Q)</tex>.
}}
==Эквивалентность автоматов с переходами по строкам и НКА. Eps<tex dpi = "155">\varepsilon</tex>-замыкание==
Будем называть два автомата '''эквивалентными''', если они задают один и тот же язык.<br>
Рассмотрим автомат, в котором переходы осуществляются по строкам. Это переходы вида <tex>\langle p,\alpha\beta\rangle\vdash\langle q,\beta\rangle</tex>, где <tex>\alpha,\beta</tex> {{---}} строки.
|proof=
Рассмотрим два случая:
* <tex>\left | \alpha \right | \ge geqslant 1</tex>*:Заменим переходы по таким строкам на последовательности переходов по символам. А именно, пусть <tex>\alpha=a_1a_2...\ldots a_n</tex>, где <tex>a_1,a_2,...\ldots ,a_n</tex> {{---}} символы. Заменим переход <tex>\langle p,\alpha\beta\rangle\vdash\langle q,\beta\rangle</tex> на переходы <tex>{\langle p,\alpha\beta\rangle\vdash\langle t_1, a_1^{-1}\alpha\beta\rangle},{\langle t_1,a_1^{-1}\alpha\beta\rangle\vdash\langle t_2,(a_1a_2)^{-1}\alpha\beta\rangle},...\ldots ,{\langle t_{n-1}, a_n\beta\rangle\vdash\langle q, \beta\rangle}.</tex>
* <tex>\left | \alpha \right | = 0 \Rightarrow \alpha = \varepsilon</tex>
*:Рассматриваем '''автомат <tex>A</tex> с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.''' Для доказательства его эквивалентности НКА посторим построим его <tex>\varepsilon</tex>-замыкание.
*:{{Определение
|definition=
'''<tex>\varepsilon</tex>-замыкание''' ('англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-closure''') {{---}} построение по автомату с <tex>\varepsilon</tex>-переходами эквивалентного ему автомата без <tex>\varepsilon</tex>-переходов.
}}
Ход построения <tex>\varepsilon</tex>-замыкания:
#:Пусть <tex>B</tex> {{---}} подграф <tex>A</tex>, в котором есть только <tex>\varepsilon</tex>-переходы. Сделаем транзитивное замыкание графа <tex>B</tex>. Таким образом, получим из автомата <tex>A</tex> новый автомат <tex>A_1</tex>, который допускает тот же язык. Заметим, что если <tex>A_1</tex> допускает слово <tex>x</tex>, то он допускает <tex>x</tex>, не совершая двух <tex>\varepsilon</tex>-переходов подряд.
#Добавление допускающих состояний
#:Пусть в <tex>A_1</tex> есть <tex>\varepsilon</tex>-переход из состояния <tex>u</tex> в состояние <tex>v</tex>, причем <tex>v</tex> {{---}} допускающее. Тогда, если текущее состояние <tex>u</tex> и строка закончилась, то ее её можно допустить. Во всех таких случаях сделаем <tex>u</tex> допускающим. Получим автомат <tex>A_2</tex>, обладающий тем же свойством, что и <tex>A_1</tex>, а также не совершающий <tex>\varepsilon</tex>-переходов в качестве последнего перехода.#Добавление реберрёбер
#:Во всех случаях, когда <tex>{\delta(u,\varepsilon)=v}, {\delta(v,c)=w}</tex>, добавим переход <tex>\delta(u,c)=w</tex>. Заметим, что если полученный автомат <tex>A_3</tex> допускает <tex>x</tex>, то он допускает <tex>x</tex>, не совершая <tex>\varepsilon</tex>-переходов.
#Устранение <tex>\varepsilon</tex>-переходов
}}
==Совпадение множеств языков, допускаемых eps<tex dpi = "155">\varepsilon</tex>-НКА и ДКА==
{{Утверждение
|id=th2
}}
== Применение ==
В некоторых случаях НКА с <tex>\varepsilon</tex>-переходами строятся проще, чем просто НКА и тем более ДКА для тех же языков. Доказанная выше эквивалентность <tex> \mathcal{L}(</tex>ДКА<tex>)</tex>,<tex>\mathcal{L}(</tex>НКА<tex>)</tex> и <tex>\mathcal{L}(</tex><tex>\varepsilon</tex>-НКА<tex>)</tex> позволяет нам при помощи алгоритма <tex>\varepsilon</tex>-замыкания легко приводить одно к другому и далее к третьему. Также свойства, доказанные выше, являются важной составляющей доказательства [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)| теоремы Клини]].
==См. также==
*[[Недетерминированные конечные автоматы]]
*[[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)]]
==Источники информации==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Nondeterministic_finite_automaton Wikipedia — Nondeterministic finite automaton]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Nondeterministic_finite_automaton_with_%CE%B5-moves Wikipedia — Nondeterministic finite automaton with epsilon-moves]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
