Изменения

|statement= Пусть семейство <tex>\mathcal B</tex> подмножеств конечного непустого множества <tex>E</tex> удовлетворяет условиям всем условиям [[Теорема о базах|теоремы о базах]]<br> # <tex>\mathcal B \ne \varnothing</tex>.# Если <tex>B_1, B_2 \in \mathcal B</tex> и <tex>B_1 \ne B_2</tex>, то <tex>B_1 \nsubseteq B_2</tex> и <tex>B_2 \nsubseteq B_1</tex>.# Если <tex>B_1, B_2 \in \mathcal B</tex>, то для <tex>\forall b_1 \in B_1 \: \exists b_2 \in B_2 </tex> такой, где играет роль что <tex>B_s(B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in \mathcal B</tex>. Тогда <tex>\mathcal B</tex> является семейством баз однозначно определенного [[Определение матроида |матроида]] на <tex>E</tex>.|proof= Покажем, что все <tex>\mathcal B</tex>-множества равномощны. Пусть <tex>B_1, B_2\in\mathcal B, |B_1|=t, B_1=\{b_1,b_2,\ldots ,b_t\}</tex>. По третьему условию [[Теорема о базах|теоремы о базах]] существует <tex>c_1\in B_2</tex> такой, что <tex>\{c_1,b_2,\ldots,b_t\}\in\mathcal B</tex>. <tex>c_1\notin\{b_2,\ldots,b_t\}</tex> в силу условия 2. Аналогично, существует <tex>c_2\in B_2</tex> такой, что <tex>\{c_1,c_2,b_3,\ldots,b_t\}\in\mathcal B</tex> и <tex>c_2\notin\{c_1,b_3,\ldots,b_t\}</tex>. Продолжая этот процесс, получим <tex>\{c_1,c_2,\ldots,c_t\}\in\mathcal B</tex> для некоторых попарно различных элементов <tex>c_1,c_2,\ldots,c_t\in B_2</tex>. В силу второго условия [[Теорема о базах|теоремы о базах]] получаем <tex>\{c_1,c_2,\ldots,c_t\}=B_2</tex>, т.е. <tex>|B_2|=t=|B_1|</tex>.<br>

Заметим, что семейство <tex>\mathcal I</tex> удовлетворяет аксиомам 1 и 2 [[Определение матроида|определения матроидааксиомам 1 и 2]]матроида. Осталось проверить, что семейство <tex>\mathcal I</tex> удовлетворяет третьей аксиоме. Пусть <tex>I,J\in\mathcal I, |I|<|J|</tex>. Зафиксируем <tex>\mathcal B</tex>-множество <tex>B_2</tex>, содержащее <tex>J</tex>. Среди <tex>\mathcal B</tex>-множеств, содержащих <tex>I</tex>, выберем такое <tex>\mathcal B</tex>-множество <tex>B_1</tex>, для которого пересечение <tex>B_1\cap B_2</tex> содержит наибольшее возможное число элементов. Покажем, что <tex>B_1\backslash I\subseteq B_2</tex>. Действительно, если существует <tex>b_1\in B_1\backslash I</tex> такой, что <tex>b_1\notin B_2</tex>, то по условию 3 [[Теорема о базах|теоремы о базах]] существует <tex>b_2\in B_2</tex>, для которого <tex>B=(B_1\backslash b_1)\cup b_2\in\mathcal B</tex> и <tex>b_1\neq b_2</tex>, т.к. <tex>b_1\notin B_2</tex>, а <tex>b_2\in B_2</tex>. Тогда <tex>|B\cap B_2|>|B_1\cap B_2|</tex>, что невозможно, поскольку <tex>I\subseteq B</tex>.<br>