32
правки
Изменения
Добавлено утверждение
Следствие 1 из теоремы
|statement=
Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Если <tex>X A \in I</tex> и <tex>y \notin A, y \in X</tex>, тогда <tex>X A \cup y \in I</tex> или существует единственный цикл <tex>C \subseteq X A \cup y.</tex> Более того, для любого <tex> \widehat{y} \in C, (X A \cup y) \setminus \widehat{y} \in I.</tex>
|proof=
Если <tex>X A \cup y \notin I, </tex> тогда в нем должен существовать цикл <tex>C_1.</tex> Предположим, что существует другой цикл <tex>C_2 \subseteq X A \cup y, </tex> и <tex>C_1 \ne C_2.</tex> Поскольку <tex>X A \in I,</tex> тогда и <tex>C_1</tex>, и <tex>C_2</tex> одновременно содержат <tex>y</tex>. По 3 пункту теоремы, <tex>(C_1 \cup C_2) \setminus y</tex> содержит цикл <tex>C.</tex> Возникает противоречие, так как <tex>(C_1 \cup C_2) \setminus y \subseteq XA.</tex> Поэтому, <tex>X A \cup y</tex> содержит единственный цикл <tex>C.</tex>Если для какого-либо <tex>\widehat{y} \in C, (X A \cup y) \setminus \widehat{y} \notin I, </tex> то <tex>(X A \cup y) \setminus \widehat{y}</tex> не является независимым и содержит цикл <tex>\widehat{C}.</tex> Более того, <tex>\widehat{C} \ne C,</tex> так как <tex>\widehat{y} \notin \widehat{C}, </tex> что противоречит единственности <tex>C.</tex>
}}
|about=
Следствие 2 из теоремы
|statement=
Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} матроид и <tex>\mathcal{B}</tex> {{---}} семейство его баз. Тогда для любой <tex>B \in \mathcal{B}</tex> и для любого <tex>x \in X, x \notin B</tex> существует единственный цикл <tex>C \subseteq B \cup x</tex>.
|proof=
Пусть, напротив, <tex>B \cup x</tex> не содержит циклов. Значит, <tex>B \cup x \in I</tex>. <tex>B</tex> {{---}} база, следовательно не существует независимых множеств большей мощности, а <tex>|B \cup x| > |B|,</tex> так как <tex>x \notin B</tex> по условию. Противоречие.
По предыдущему утверждению, <tex>B \cup x</tex> содержит не более одного цикла, поэтому цикл единственный.
}}
{{Утверждение
|about=
Следствие 3 из теоремы
|statement=
Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} матроид и <tex>\mathcal{B}</tex> {{---}} семейство его баз. Тогда для всех <tex>B, \widehat{B} \in \mathcal{B}</tex> выполнено: для любого <tex>\widehat{x} \in \widehat{B} \setminus B</tex> существует такой <tex>x \in B \setminus \widehat{B}, </tex> что <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x</tex> {{---}} база.
В случае, если существует <tex>x = \widehat{x}</tex>, утверждение очевидно. Рассмотрим противоположный.
<tex>B</tex> {{---}} база, следовательно <tex>B \in I, </tex> при этом <tex>\widehat{x} \notin B,</tex> а <tex>B \cup \widehat{x} \notin I. , \exists !C \subseteq B \cup \widehat{x}</tex> (по предыдущему утверждению). Тогда, по прошлому утверждению1, существует такой <tex>x \in C \subseteq B \cup \widehat{x}, </tex> а что <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x \in I.</tex>
<tex>x</tex> содержится в <tex>B \setminus \widehat{B}, </tex> так как <tex> \widehat{x} \notin B \setminus \widehat{B} \in I, </tex> а <tex>\widehat{x}</tex> и <tex>x</tex> содержатся в <tex>C, </tex> то есть принадлежат не являющемуся независимым множеству <tex>(B \setminus \widehat{B}) \cup \widehat{x}, </tex> при этом <tex>x \ne \widehat{x}. |B| = |(B \cup \widehat{x}) \setminus x|, </tex> следовательно <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x</tex> {{---}} база.
}}
