143
правки
Изменения
м
скобочки
Если <tex>(\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1 \notin \mathfrak I</tex>, то существует <tex>\mathbb C' \in \mathfrak C</tex>, длф которого существует такой <tex>\mathbb C'' \in \mathfrak C</tex>, что <tex>\mathbb C'' \subseteq (\mathbb C_1 \cup \mathbb C_2) \setminus p_1 \subseteq \mathbb I</tex>. Пришли к противоречию с условием <tex>\mathbb I \in \mathfrak I</tex>.
Пусть <tex>(\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1 \in \mathfrak I</tex>. Заметим, что <tex>|((\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1) \cup \mathbb J| < |\mathbb I \cup \mathbb J|</tex>. Поэтому в силу выбора пары <tex>\mathbb I, \mathbb J</tex> для пары <tex>(\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1, J</tex> существует элемент <tex>p_j</tex>, где <tex>j \ge 2</tex>, такой, что <tex>(\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1 \cup p_j \in \mathfrak I</tex>. Возьмем множество <tex>\mathbb C_j \in \mathfrak C</tex>. Для него выполняется <tex>p_j \in \mathbb C_j \subseteq \mathbb I \cup p_j</tex>. Если <tex>q_1 \notin \mathbb C_j</tex>, то <tex>\mathbb C_j \subseteq (\mathbb I \setminus q_1) \cup p_j \subseteq (\mathbb I \setminus q1) \cup p_1 \cup p_j</tex>, что невозможно. Следовательно, <tex>q_1 \in \mathbb C_j \cap C_1</tex> и <tex>\mathbb C_j \ne \mathbb C_1</tex>. Тогда по 3 пункуту теоремы, существует <tex>\mathbb C \in \mathfrak C</tex>, для которого <tex>\mathbb C \subseteq (\mathbb C_j \cup \mathbb C_1) \setminus q_1 \subseteq (\mathbb C_j \setminus q_1) \cup (\mathbb C_1 \setminus q_1) \subseteq ((\mathbb I \setminus q_1) \cup p_j) \cup ((\mathbb I \setminus q_1) \cup p_1) = (\mathbb I \setminus q_10 ) \cup p_1 \cup p_j \in \mathfrak I</tex>, что невозможно.
Итак, семейство <tex>\mathfrak I</tex> удовлетворяет аксиомам матроида. Следовательно, существует матроид <tex>M(\mathbb E)</tex> на множестве <tex>\mathbb E</tex>, для которого семейство <tex>\mathfrak I</tex> является семейством независимых множеств. Из определения <tex>\mathfrak C</tex>-независимости легко следует, что семейство <tex>\mathfrak C</tex> совпадает с множеством цисклов матроида <tex>M(\mathbb E)</tex>
}}
