Алгебра

Умножение линейных операторов

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y [/math] и [math]\mathcal{B} \colon Y \to Z [/math], причём [math]\dim X = n[/math], [math]\dim Y = m[/math] и [math]\dim Z = p[/math]. Тогда отображение [math]\mathcal{C} \colon X \to Z[/math] называется называется произведением линейных операторов [math]\mathcal{B}[/math] и [math]\mathcal{A} \ (\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A})[/math], если [math]\forall x \in X \colon \ \mathcal{C}(x) = \mathcal{B}(\mathcal{A}x)[/math]

Лемма:

Если [math]\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}[/math], то [math]\mathcal{C}[/math] - линейный оператор, т.е. [math]\mathcal{C} \in X \times Z [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

УПРАЖНЕНИЕ

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]\{e_i\}_{i=1}^n[/math] - базис [math]X[/math], [math]\{h_k\}_{k=1}^m[/math] - базис [math]Y[/math], [math]\{l_s\}_{s=1}^p[/math] - базис [math]Z[/math] и пусть [math] A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{A}[/math], [math] B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{B}[/math], [math]C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||[/math] - матрица [math]\mathcal{C}[/math], где [math]\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}[/math]. Тогда [math]C = B \cdot A[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. [math]\mathcal{C}e_i = \sum\limits_{k=1}^{p} \gamma_{i}^{k} l_k[/math], т.е. [math]\gamma_{i}^{k} = (C_{e_i})^k[/math] по определению матрицы [math]C[/math]. 2. [math]\mathcal{C}e_i = \mathcal{B} (\mathcal{A} e_i) = \mathcal{B} (\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} h_j) \overset{\mathcal{B} - lin.op}{=} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} \mathcal{B}(h_j)[/math]

[math]\triangleleft[/math]