1632
правки
Изменения
м
==Умножение линейных операторов==
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y </tex> и <tex>\mathcal{B} \colon Y \to Z </tex>, причём <tex>\dim X = n</tex>, <tex>\dim Y = m</tex> и <tex>\dim Z = p</tex>.<br>Тогда отображение <tex>\l mathcal{C} \colon X \to Z</tex> называется называется '''произведением линейных операторов''' <tex>\mathcal{B}</tex> и <tex>\mathcal{A} \ (l \mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A})</tex>, если для <tex>\forall x \in X \colon \ l\mathcal{C}(x) = \mathcal{B}(\mathcal{A}x)</tex>
}}
{{Лемма
|statement=Если <tex>\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}</tex>, то <tex>\mathcal{C}</tex> - '''линейный оператор''', т.е. <tex>\mathcal{C} \in X \times Z </tex>
|proof= УПРАЖНЕНИЕ
}}
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\{e_i\}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>X</tex>, <tex>\{h_k\}_{k=1}^m</tex> - базис <tex>Y</tex>, <tex>\{l_s\}_{s=1}^p</tex> - базис <tex>Z</tex> и пусть <tex> A_{[m \times n]} = ||\alpha_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{A}</tex>, <tex> B_{[p \times m]} = ||\beta_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{B}</tex>, <tex>C_{[p \times n]} = ||\gamma_k^i||</tex> - матрица <tex>\mathcal{C}</tex>, где <tex>\mathcal{C} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A}</tex>.<br>
Тогда <tex>C = B \cdot A</tex>.
|proof=1. <tex dpi = "150">\mathcal{C}e_i = \sum\limits_{k=1}^{p} \gamma_{i}^{k} l_k</tex>, т.е. <tex>\gamma_{i}^{k} = (Ce_i)^k</tex> по определению матрицы <tex>C</tex>.<br>
2. <tex dpi = "150">\mathcal{C}e_i = \mathcal{B} (\mathcal{A} e_i) = \mathcal{B} (\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} h_j) \overset{\mathcal{B} - lin.op}{=} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} \mathcal{B}(h_j) = \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} (\sum\limits_{k=1}^{p} \beta_{j}^{k} l_k) = </tex><tex dpi = "150"> \sum\limits_{k=1}^{p} (l_k \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j}) </tex>, тогда из 1 и 2: <br>
<tex dpi = "150">\gamma_i^k = \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j} \overset{def}{\Leftrightarrow} C_{[p \times n]} = B_{[p \times m]} \times A_{[m \times n]} </tex>, для <tex>i = 1..n</tex> и <tex>k = 1..p</tex>
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
=Алгебра=
{{Определение
|definition=Линейное пространство <tex>X</tex> над <tex>F</tex> называется '''алгеброй''', если в нём задана вторая бинарная операция <tex>\cdot</tex>, и при этом <br>
<tex>\forall x,y,z \in X </tex> и <tex>\forall \alpha \in F \colon</tex><br>
1) <tex>(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)</tex><br>
2) <tex>(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z</tex><br>
3) <tex>z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y</tex><br>
4) <tex>\alpha(x \cdot y) = (\alpha x)y = x(\alpha y)</tex>
}}
{{Nota Bene|notabene=Если <tex>\forall x,y \in X \colon x \cdot y = y \cdot x </tex>, то <tex>X</tex> называется '''коммутативной (абелевой)''' алгеброй.}}
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>X = F_n^n = \{ A_{[n \times n]} = ||\alpha_k^i||, \ \alpha_k^i \in F \}</tex>, тогда <tex>X</tex> - алгебра над <tex>F</tex>. (не абелева)
}}
{{Теорема
|statement=<tex>X \times X</tex> - алгебра над <tex>F</tex>, где <tex>X \times X = \{ \mathcal{A} \colon X \Rightarrow X \}</tex>.
}}
=Изоморфные алгебры=
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - алгебры над <tex>F</tex>. Тогда назовём <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> '''изоморфными''', если <tex>\exists \Leftrightarrow</tex> - линейный оператор между алгебрами, такой что <br>
1) <tex> \Leftrightarrow </tex> - взаимооднозначный л.о., т.е.<br>
Для <tex>x \in X, y \in Y \colon \ x \leftrightarrow y</tex><br>
2) <tex> \Leftrightarrow </tex> сохраняет линейную и мультипликативную структуру<br>
1. <tex>x_1 + x_2 \ \leftrightarrow \ y_1 + y_2</tex><br>
2. <tex>\alpha x_1 \ \leftrightarrow \ \alpha y_1</tex><br>
3. <tex>x_1x_2 \ \leftrightarrow \ x_1x_2</tex>
}}
{{Теорема
|statement=Алгебры <tex>F_n^n</tex> и <tex>X \times X</tex> - изоморфны.
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
