1632
правки
Изменения
м
==Умножение линейных операторов==
= [[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]] =Алгебра. Изоморфизм алгебр.==
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y </tex> и <tex>\mathcal{B} \colon Y \to Z </tex>, причём <tex>\dim X = n</tex>, <tex>\dim Y = m</tex> и <tex>\dim Z = p</tex>.<br>
Тогда <tex>C = B \cdot A</tex>.
|proof=1. <tex dpi = "150">\mathcal{C}e_i = \sum\limits_{k=1}^{p} \gamma_{i}^{k} l_k</tex>, т.е. <tex>\gamma_{i}^{k} = (C_{e_i}Ce_i)^k</tex> по определению матрицы <tex>C</tex>.<br>
2. <tex dpi = "150">\mathcal{C}e_i = \mathcal{B} (\mathcal{A} e_i) = \mathcal{B} (\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} h_j) \overset{\mathcal{B} - lin.op}{=} \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} \mathcal{B}(h_j) = \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{i}^{j} (\sum\limits_{k=1}^{p} \beta_{j}^{k} l_k) = </tex><tex dpi = "150"> \sum\limits_{k=1}^{p} (l_k \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j}) </tex>, тогда из 1 и 2: <br>
<tex dpi = "150">\gamma_i^k = \sum\limits_{j=1}^{m} \beta_{j}^{k} \alpha_{i}^{j} \overset{def}{\Leftrightarrow} C_{[p \times n]} = B_{[p \times m]} \times A_{[m \times n]} </tex>, для <tex>i = 1..n</tex> и <tex>k = 1..p</tex>
}}
{{Определение
|definition=Линейное пространство <tex>X</tex> над <tex>F</tex> называется '''алгеброй''', если в нём задана вторая бинарная операция "<tex>+\cdot</tex>", и при этом <br><tex>\forall x,y,z \in X </tex> и <tex>\forall \alpha \in F \colon</tex><br>1) <tex>(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)</tex> - ассоциативность умножения<br>2) <tex>(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z</tex> - дистрибутивность справа<br>3) <tex>z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y</tex> - дистрибутивность слева<br>4) <tex>\alpha(x \cdot y) = (\alpha x)y = x(\alpha y)</tex> - домножение на скаляр
}}
{{Nota Bene|notabene=Если <tex>\forall x,y \in X \colon x \cdot y = y \cdot x </tex>, то <tex>X</tex> называется '''коммутативной (абелевой)''' алгеброй.}}
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>X = F_n^n = \{ A_{[n \times n]} = ||\alpha_k^i||, \ \alpha_k^i \in F \}</tex>, тогда <tex>X</tex> - алгебра над <tex>F</tex>. (не абелева)
}}
{{Теорема
|statement=<tex>X \times X</tex> - алгебра над <tex>F</tex>, где <tex>X \times X = \{ \mathcal{A} \colon X \Rightarrow X \}</tex>.
}}
=Изоморфные алгебры=
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - алгебры над <tex>F</tex>. Тогда назовём <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> '''изоморфными''', если <tex>\exists \Leftrightarrow</tex> - линейный оператор между алгебрами, такой что <br>
1) <tex> \Leftrightarrow </tex> - взаимооднозначный л.о., т.е.<br>
Для <tex>x \in X, y \in Y \colon \ x \leftrightarrow y</tex><br>
2) <tex> \Leftrightarrow </tex> сохраняет линейную и мультипликативную структуру<br>
1. <tex>x_1 + x_2 \ \leftrightarrow \ y_1 + y_2</tex><br>
2. <tex>\alpha x_1 \ \leftrightarrow \ \alpha y_1</tex><br>
3. <tex>x_1x_2 \ \leftrightarrow \ x_1x_2</tex>
}}
{{Теорема
|statement=Алгебры <tex>F_n^n</tex> и <tex>X \times X</tex> - изоморфны.
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
