418
правок
Изменения
→Минимальный полином линейного оператора
<tex>\widehat{X_A}(\lambda) = \prod_{i=1, j!=i}^n (\lambda-\lambda_i)</tex>
Рассмотрим <tex>x_j \in L_{\lambda_j} => \widehat{X_A}(A)x_j != \ne O </tex>
<tex>X_A(A)=O</tex> - тождество Кэли
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>p_A(\lambda)=p_1(\lambda)\cdot p_2(\lambda) </tex> (взаимнопростые)Тогда <tex>Ker p_1(A) = Im p_2(A)</tex>
|proof=
<tex>p_A(A)X = \{Ox\}</tex><tex>p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}</tex><tex>p_2(A)X = Im p_2(A)</tex>=> <tex> \forall x \in Im p_2(A):p_1(\mathcal{A})x=Ox => Im p_2(\mathcal{A}) inini Ker p_1(\mathcal{A})</tex><tex>dim Im p_2(\mathcal{A}) = dim Ker p_1(\mathcal{A}) (?)</tex><tex>X=Ker p_A(\mathcal{A})=Ker p_1(\mathcal{A}) \dotplus Ker p_2(\mathcal{A})</tex> 1) <tex>n = dim X = dim Ker p_1(\mathcal{A}) + dim Ker p_2(\mathcal{A}) </tex> (1) 2) <tex>n = dim X = dim Im p_2(\mathcal{A}) + dim Ker p_2(\mathcal{A}) </tex> (2)
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>p_a(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex> (взаимнопростые делители)
Пусть <tex>p_i^{'} = {p_a \over p_i}</tex>; <tex>q_i</tex> - также понятно, что <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^k p_i^{'}(\lambda)\cdot q_i(\lambda) = \mathcal{1}</tex>
Тогда 1) <tex>X = \dotplus \sum_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})</tex>, где <tex>x = \sum_{i=1}^k p_i^{'} (\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})x=\sum_{i=1}^k x_i</tex> так, что x_i =
|proof=
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
