Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Алгебра скалярных полиномов

7884 байта добавлено, 23:04, 14 июня 2013
Нет описания правки
4) <tex>(\beta p)\cdot q = p\cdot(\beta q)</tex>
5) <tex>(\alpha + \beta)\cdot r = \alpha\cdot r + \beta\cdot r</tex>
6}} {{Определение|definition= Идеалом <tex>\mathbb{J}</tex> алгебры полиномов <tex>\mathbb{P}</tex> называется ее <i>подпространство</i> , такое что<tex> \forall q \in \mathbb{J},\forall p \in \mathbb{P} \Rightarrow q \cdot p \in \mathbb{J} </tex>.}} {{Определение|definition=Фиксированный полином <tex>p</tex> в равенстве <tex>\mathbb{J}_p=p \mathbb{P}</tex> называется '''порождающим полиномом''' идеала <tex>\mathbb{P}</tex>}} {{Лемма|statement=Пусть <tex>\mathbb{I}</tex> - единичный полином, т.е. <tex>\mathbb{I} (\lambda)= 1</tex>. Тогда <tex>\forall</tex> идеал, содержащий <tex>\mathbb{I}</tex> - тривиальный полином и равен <tex>\mathbb{P}</tex>.}}  {{Лемма|statement=Пусть <tex> \mathbb{J}_1,\ \mathbb{J}_2</tex> - идеалы <tex>\mathbb{P}</tex>, тогда<tex>\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2</tex> и <tex>\tilde{\mathbb{J}} = \mathbb{J}_1 \dotplus \mathbb{J}_2</tex> тоже идеалы.}} {{Определение|definition= Пусть <tex>\mathbb{J}</tex> - идеал <tex>\mathbb{P}</tex>. Тогда <tex>\mathrm{p}_J \ne 0</tex> называется минимальным полиномом этого идеала, если он в нем содержится и имеет минимальную степень.}} {{Определение|definition=<tex>\mathbb{J}</tex> называется тривиальным идеалом, если <tex>\mathbb{J}=\mathbb{P}</tex> или <tex>\mathbb{J}=\{0\}</tex>.}} {{Лемма|statement=Если <tex>\mathbb{J}</tex> - идеал и не тривиальный, то <tex>deg\ \mathrm{p}_J > 0 </tex>. , где <tex>\mathrm{p}_J</tex> - минимальный полином идеала <tex>\mathbb{J}</tex>}} {{Теорема|statement=Пусть <tex>\mathrm{p}_J - min</tex> полином <tex>\mathbb{J} \Rightarrow \forall \mathrm{p}\in \mathbb{J}: \mathrm{p}\ \vdots \ \mathrm{p}_J</tex>|proof=Будем доказывать от противного. Пусть <tex dpi = '150'>\exists\mathrm{p}\in\mathbb{J} : \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_J} = \mathrm{q} + \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}_J}</tex>, где <tex dpi = '130'> deg\ \mathrm{r} < deg\ \mathrm{p}_J</tex>. Тогда <tex>\mathrm{r} = \mathrm{p}-\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q}</tex> , где <tex>\mathrm{p},\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q} \in \mathbb{J} \Rightarrow \mathrm{r}\in \mathbb{J}</tex> {{---}} противоречие.}} {{Лемма|statement=Пусть <tex>\mathrm{p}_J^1,\ \mathrm{p}_J^2</tex> {{---}} два минимальных полинома <tex>\mathbb{J}</tex> , тогда <tex>\mathrm{p}_J^1 = \alpha\mathrm{p}_J^2,\ \alpha \ne 0</tex>}} {{Теорема|statement=Минимальный полином <tex>\mathbb{J}</tex> является порождающим полиномом, т.е. если <tex>\mathrm{p}_J - min</tex> полином <tex>\mathbb{J} \Rightarrow \mathbb{J} = \mathrm{p}_J \cdot \mathbb{P}</tex>.|proof=<tex>\mathrm{p}_J\cdot\mathbb{P} = \mathbb{J}\Leftarrow\begin{cases}\forall\mathrm{p}\in\mathbb{J}\Rightarrow \mathrm{p} = \mathrm{p}_J\cdot \mathrm{q}\Rightarrow \mathbb{J}\subseteq \mathrm{p}_J\cdot \mathbb{P}\\
\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{p}\in\mathbb{J}\Rightarrow\mathrm{p}_J\cdot\mathbb{P}\subseteq\mathbb{J}
\end{cases}
</tex>
}}
 
 
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} </tex>, где <tex>\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}</tex> {{---}} соответствующие минимальные полиномы.
Тогда, если <tex>\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}</tex>
|proof=
<tex>\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow \mathrm{p}_{J1}\in\mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}</tex>.
 
(чем меньше идеал как множество, тем больше степень минимального полинома)
}}
 
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} </tex>, где <tex>\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}</tex> {{---}} соответствующие минимальные полиномы.
Так же пусть <tex>\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}</tex>. {{---}} минимальный полином.
Тогда <tex>\mathrm{p}_J = </tex> НОК<tex>(\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})</tex>
|proof=
<tex>\mathrm{p}_J = </tex> OK<tex>\{p_{\mathbb{J}_1},\ p_{\mathbb{J}_2}\}</tex><tex>\Leftarrow
\begin{cases}
\mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_1 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J1}\\
\mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_2 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}
\end{cases}
</tex>
Рассмотрим <tex>q \in \mathbb{J} - OK \{p_{\mathbb{J}_1},\ p_{\mathbb{J}_2)}\} \vdots \mathrm{p}_J \Rightarrow \mathrm{p}_J</tex> {{---}} НОК по определению <tex>min</tex> полинома.
}}
 
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>\mathbb{J}=\mathbb{J}_1+\mathbb{J}_2 \ (\mathbb{J}\leftrightarrow \mathrm{p}_J, \mathbb{J}_1\leftrightarrow \mathrm{p}_{J1}, \mathbb{J}_2\leftrightarrow \mathrm{p}_{J2})</tex> тогда <tex>\mathrm{p}_j=</tex>НОД<tex>\{\mathrm{p}_{j1},\mathrm{p}_{j2}\}</tex>
|proof=
}}
 
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} </tex>, где <tex>\mathrm{p}_{J1},\
\mathrm{p}_{J2}</tex> {{---}} соответствующие минимальные полиномы.
Так же пусть <tex>\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \dotplus \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}</tex>.
Тогда <tex>\mathrm{p}_J = </tex> НОД<tex>(\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})</tex>
}}
 
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{2} </tex>, где <tex>\mathrm{p}_{1},\
\mathrm{p}_{2}</tex> {{---}} соответствующие минимальные полиномы.
Так же пусть <tex>\mathrm{p}_{1},\ \mathrm{p}_{2}</tex> {{---}} взаимнопростые.
Тогда <tex>\exists \mathrm{q}_1,\ \mathrm{q}_2\in \mathbb{C} : \mathrm{p}_1\cdot\mathrm{q}_1 + \mathrm{p}_2\cdot\mathrm{q}_2 = \mathbb{I}</tex>, где <tex>\mathbb{I}</tex> {{---}} единичный полином.
|proof=
<tex>\mathbb{J}_1 =\mathrm{p}_1\cdot\mathbb{P}\ ,\ \mathbb{J}_2 =\mathrm{p}_2\cdot\mathbb{P} </tex>
Рассмотрим <tex>\mathbb{J} = \mathbb{J}_1\cdot\mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_J = </tex> НОД<tex>(\mathrm{p}_1,\ \mathrm{p}_2) = \mathbb{I}\Rightarrow\mathbb{J}=\mathbb{P}</tex>
А тогда очевидно, что <tex>\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{q}_1 + \mathrm{p}_2\cdot\mathrm{q}_2 = \mathbb{I}</tex>
}}
 
 
{{Теорема
|statement=
Пусть НОД<tex>\{ \mathrm{p}_1,...,\mathrm{p}_k\} = 1\Rightarrow\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{q}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i \cdot \mathrm{q}_i = \mathbb{I}</tex>
|proof= по индукции.
}}
 
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\mathrm{p} = \mathrm{p}_1\cdot ... \cdot \mathrm{p}_k</tex> , где любые <tex>\mathrm{p}_i,\ \mathrm{p}_j</tex> {{---}} попарно взаимно простые делители <tex>\mathrm{p}</tex>
Рассмотрим <tex dpi='145'>\mathrm{p}_i^1 = \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_i}</tex>.
Тогда <tex>\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{q}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i^1\cdot\mathrm{q}_j = \mathbb{I}</tex>
|proof= следствие индукционного обобщения выше.
}}
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
Slavian
497
правок
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/31976...32469»

Навигация