Алгебра скалярных полиномов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 4 промежуточные версии 2 участников)
Строка 24: Строка 24:
 
|definition=  
 
|definition=  
 
Идеалом <tex>\mathbb{J}</tex> алгебры полиномов <tex>\mathbb{P}</tex> называется ее <i>подпространство</i> , такое что
 
Идеалом <tex>\mathbb{J}</tex> алгебры полиномов <tex>\mathbb{P}</tex> называется ее <i>подпространство</i> , такое что
<tex> \forall q \in \mathbb{J}, p \in \mathbb{P} \Rightarrow q \cdot p \in \mathbb{J} </tex>.
+
<tex> \forall q \in \mathbb{J},\forall p \in \mathbb{P} \Rightarrow q \cdot p \in \mathbb{J} </tex>.
 
}}
 
}}
  
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Фиксированный полином <tex>p</tex> в равенстве <tex>\mathbb{J}_p=p \mathbb{P}</tex> называется '''порождающим полиномом''' идеала <tex>\mathbb{P}</tex>
 +
}}
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 34: Строка 38:
 
Тогда <tex>\forall</tex> идеал, содержащий <tex>\mathbb{I}</tex> - тривиальный полином и равен <tex>\mathbb{P}</tex>.
 
Тогда <tex>\forall</tex> идеал, содержащий <tex>\mathbb{I}</tex> - тривиальный полином и равен <tex>\mathbb{P}</tex>.
 
}}
 
}}
 +
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 43: Строка 48:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=  
 
|definition=  
Пусть <tex>\mathbb{J}</tex> - идеал <tex>\mathbb{P}</tex>. Тогда <tex>\mathrm{p}_J</tex> называется минимальным полиномом этого <tex>\mathbb{J}</tex>, если он <tex>\in \mathbb{J}</tex> и имеет минимальную степень.
+
Пусть <tex>\mathbb{J}</tex> - идеал <tex>\mathbb{P}</tex>. Тогда <tex>\mathrm{p}_J \ne 0</tex> называется минимальным полиномом этого идеала, если он в нем содержится и имеет минимальную степень.
 
}}
 
}}
  
Строка 53: Строка 58:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex>\mathbb{J}</tex> - идеал и не тривиальный, то <tex>deg\ \mathrm{p}_J > 0 </tex>.
+
Если <tex>\mathbb{J}</tex> - идеал и не тривиальный, то <tex>deg\ \mathrm{p}_J > 0 </tex>. , где <tex>\mathrm{p}_J</tex> - минимальный полином идеала <tex>\mathbb{J}</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 64: Строка 69:
 
Пусть <tex dpi = '150'>\exists\mathrm{p}\in\mathbb{J} : \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_J} = \mathrm{q} + \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}_J}</tex>, где <tex dpi = '130'> deg\ \mathrm{r} < deg\ \mathrm{p}_J</tex>.
 
Пусть <tex dpi = '150'>\exists\mathrm{p}\in\mathbb{J} : \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_J} = \mathrm{q} + \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}_J}</tex>, где <tex dpi = '130'> deg\ \mathrm{r} < deg\ \mathrm{p}_J</tex>.
  
Тогда <tex>\mathrm{r} = \mathrm{p}-\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q}</tex> , где <tex>\mathrm{p},\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q} \in \mathbb{J} \Rightarrow \mathrm{r}\in \mathbb{J}</tex> {{---}} Противоречие.
+
Тогда <tex>\mathrm{r} = \mathrm{p}-\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q}</tex> , где <tex>\mathrm{p},\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q} \in \mathbb{J} \Rightarrow \mathrm{r}\in \mathbb{J}</tex> {{---}} противоречие.
 
}}
 
}}
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>\mathrm{p}_J^1,\ \mathrm{p}_J^1 - 2 min</tex> полинома <tex>\mathbb{J}</tex> , тогда <tex>\mathrm{p}_J^1 = \alpha\mathrm{p}_J^1,\ \alpha \ne 0</tex>
+
Пусть <tex>\mathrm{p}_J^1,\ \mathrm{p}_J^2</tex> {{---}} два минимальных полинома <tex>\mathbb{J}</tex> , тогда <tex>\mathrm{p}_J^1 = \alpha\mathrm{p}_J^2,\ \alpha \ne 0</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 93: Строка 98:
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow \mathrm{p}_{J1}\in\mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}</tex>.
 
<tex>\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow \mathrm{p}_{J1}\in\mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}</tex>.
 +
 +
(чем меньше идеал как множество, тем больше степень минимального полинома)
 
}}
 
}}
  
Строка 98: Строка 105:
 
|statement=  
 
|statement=  
 
Пусть <tex>\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} </tex>, где <tex>\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}</tex> {{---}} соответствующие минимальные полиномы.
 
Пусть <tex>\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} </tex>, где <tex>\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}</tex> {{---}} соответствующие минимальные полиномы.
Так же пусть <tex>\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}</tex>.
+
Так же пусть <tex>\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}</tex>. {{---}} минимальный полином.
 
Тогда <tex>\mathrm{p}_J = </tex> НОК<tex>(\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})</tex>
 
Тогда <tex>\mathrm{p}_J = </tex> НОК<tex>(\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex>\mathrm{p}_J = </tex> OK<tex>(\mathbb{J}_1,\ \mathbb{J}_2)</tex><tex>\Leftarrow
+
<tex>\mathrm{p}_J = </tex> OK<tex>\{p_{\mathbb{J}_1},\ p_{\mathbb{J}_2}\}</tex><tex>\Leftarrow
 
\begin{cases}
 
\begin{cases}
 
\mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_1 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J1}\\
 
\mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_1 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J1}\\
Строка 107: Строка 114:
 
\end{cases}
 
\end{cases}
 
</tex>
 
</tex>
<tex>\mathrm{p}_J</tex> {{---}} НОК по определению <tex>min</tex> полинома.
+
Рассмотрим <tex>q \in \mathbb{J} - OK \{p_{\mathbb{J}_1},\ p_{\mathbb{J}_2)}\} \vdots \mathrm{p}_J \Rightarrow \mathrm{p}_J</tex> {{---}} НОК по определению <tex>min</tex> полинома.
 +
}}
 +
 
 +
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>\mathbb{J}=\mathbb{J}_1+\mathbb{J}_2 \ (\mathbb{J}\leftrightarrow \mathrm{p}_J, \mathbb{J}_1\leftrightarrow \mathrm{p}_{J1}, \mathbb{J}_2\leftrightarrow \mathrm{p}_{J2})</tex> тогда <tex>\mathrm{p}_j=</tex>НОД<tex>\{\mathrm{p}_{j1},\mathrm{p}_{j2}\}</tex>
 +
|proof=
 
}}
 
}}
  
Строка 134: Строка 147:
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть НОД<tex>\{ \mathrm{p}_1,...,\mathrm{p}_k\} = 1\Rightarrow\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{q}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i \cdot \mathrm{q}_i = \mathbb{I}</tex>
 
Пусть НОД<tex>\{ \mathrm{p}_1,...,\mathrm{p}_k\} = 1\Rightarrow\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{q}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i \cdot \mathrm{q}_i = \mathbb{I}</tex>
 +
|proof= по индукции.
 
}}
 
}}
  
Строка 139: Строка 153:
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть <tex>\mathrm{p} = \mathrm{p}_1\cdot ... \cdot \mathrm{p}_k</tex> , где любые <tex>\mathrm{p}_i,\ \mathrm{p}_j</tex> {{---}} попарно взаимно простые делители <tex>\mathrm{p}</tex>
 
Пусть <tex>\mathrm{p} = \mathrm{p}_1\cdot ... \cdot \mathrm{p}_k</tex> , где любые <tex>\mathrm{p}_i,\ \mathrm{p}_j</tex> {{---}} попарно взаимно простые делители <tex>\mathrm{p}</tex>
Рассмотрим <tex dpi='145'>\mathrm{p}_i^1 = \frac{\mathrm{p}_i}{\mathrm{p}}</tex>.
+
Рассмотрим <tex dpi='145'>\mathrm{p}_i^1 = \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_i}</tex>.
Тогда <tex>\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{p}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i^1\cdot\mathrm{q}_j = \mathbb{I}</tex>
+
Тогда <tex>\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{q}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i^1\cdot\mathrm{q}_j = \mathbb{I}</tex>
 +
|proof= следствие индукционного обобщения выше.
 
}}
 
}}
  
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 23:04, 14 июня 2013

Определение:
Скалярным полиномом называется [math]p(\lambda) = \sum_{i=1}^m \alpha_i \lambda^i[/math], где [math]\alpha_i\in\mathbb{C}[/math], а [math]\forall m[/math].


Утверждение:
Пространство всех полиномов является коммутативной алгеброй
[math]\triangleright[/math]

Доказательство осуществляется проверкой всех свойств.

1) [math](p\cdot q)\cdot r = p\cdot(q\cdot r)[/math]

2) [math]p\cdot q = q\cdot p[/math]

3) [math](p + q)\cdot r = p\cdot r+ q\cdot r[/math]

4) [math](\beta p)\cdot q = p\cdot(\beta q)[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Идеалом [math]\mathbb{J}[/math] алгебры полиномов [math]\mathbb{P}[/math] называется ее подпространство , такое что [math] \forall q \in \mathbb{J},\forall p \in \mathbb{P} \Rightarrow q \cdot p \in \mathbb{J} [/math].


Определение:
Фиксированный полином [math]p[/math] в равенстве [math]\mathbb{J}_p=p \mathbb{P}[/math] называется порождающим полиномом идеала [math]\mathbb{P}[/math]


Лемма:
Пусть [math]\mathbb{I}[/math] - единичный полином, т.е. [math]\mathbb{I} (\lambda) = 1[/math]. Тогда [math]\forall[/math] идеал, содержащий [math]\mathbb{I}[/math] - тривиальный полином и равен [math]\mathbb{P}[/math].


Лемма:
Пусть [math] \mathbb{J}_1,\ \mathbb{J}_2[/math] - идеалы [math]\mathbb{P}[/math], тогда [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2[/math] и [math]\tilde{\mathbb{J}} = \mathbb{J}_1 \dotplus \mathbb{J}_2[/math] тоже идеалы.


Определение:
Пусть [math]\mathbb{J}[/math] - идеал [math]\mathbb{P}[/math]. Тогда [math]\mathrm{p}_J \ne 0[/math] называется минимальным полиномом этого идеала, если он в нем содержится и имеет минимальную степень.


Определение:
[math]\mathbb{J}[/math] называется тривиальным идеалом, если [math]\mathbb{J}=\mathbb{P}[/math] или [math]\mathbb{J}=\{0\}[/math].


Лемма:
Если [math]\mathbb{J}[/math] - идеал и не тривиальный, то [math]deg\ \mathrm{p}_J \gt 0 [/math]. , где [math]\mathrm{p}_J[/math] - минимальный полином идеала [math]\mathbb{J}[/math]
Теорема:
Пусть [math]\mathrm{p}_J - min[/math] полином [math]\mathbb{J} \Rightarrow \forall \mathrm{p}\in \mathbb{J}: \mathrm{p}\ \vdots \ \mathrm{p}_J[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать от противного.

Пусть [math]\exists\mathrm{p}\in\mathbb{J} : \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_J} = \mathrm{q} + \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{p}_J}[/math], где [math] deg\ \mathrm{r} \lt deg\ \mathrm{p}_J[/math].

Тогда [math]\mathrm{r} = \mathrm{p}-\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q}[/math] , где [math]\mathrm{p},\mathrm{p}_J\cdot\mathrm{q} \in \mathbb{J} \Rightarrow \mathrm{r}\in \mathbb{J}[/math] — противоречие.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Пусть [math]\mathrm{p}_J^1,\ \mathrm{p}_J^2[/math] — два минимальных полинома [math]\mathbb{J}[/math] , тогда [math]\mathrm{p}_J^1 = \alpha\mathrm{p}_J^2,\ \alpha \ne 0[/math]
Теорема:
Минимальный полином [math]\mathbb{J}[/math] является порождающим полиномом, т.е. если [math]\mathrm{p}_J - min[/math] полином [math]\mathbb{J} \Rightarrow \mathbb{J} = \mathrm{p}_J \cdot \mathbb{P}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math] \mathrm{p}_J\cdot\mathbb{P} = \mathbb{J}\Leftarrow \begin{cases} \forall\mathrm{p}\in\mathbb{J}\Rightarrow \mathrm{p} = \mathrm{p}_J\cdot \mathrm{q}\Rightarrow \mathbb{J}\subseteq \mathrm{p}_J\cdot \mathbb{P}\\ \mathrm{p}_J\cdot\mathrm{p}\in\mathbb{J}\Rightarrow\mathrm{p}_J\cdot\mathbb{P}\subseteq\mathbb{J} \end{cases} [/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы. Тогда, если [math]\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\mathbb{J}_1\subset \mathbb{J}_2\Rightarrow \mathrm{p}_{J1}\in\mathbb{J}_2\Rightarrow\mathrm{p}_{J1}\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2}[/math].

(чем меньше идеал как множество, тем больше степень минимального полинома)
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы.

Так же пусть [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \cap \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}[/math]. — минимальный полином.

Тогда [math]\mathrm{p}_J = [/math] НОК[math](\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{p}_J = [/math] OK[math]\{p_{\mathbb{J}_1},\ p_{\mathbb{J}_2}\}[/math][math]\Leftarrow \begin{cases} \mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_1 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J1}\\ \mathrm{p}_J \in \mathbb{J}_2 \Rightarrow \mathrm{p}_J\ \vdots\ \mathrm{p}_{J2} \end{cases} [/math]

Рассмотрим [math]q \in \mathbb{J} - OK \{p_{\mathbb{J}_1},\ p_{\mathbb{J}_2)}\} \vdots \mathrm{p}_J \Rightarrow \mathrm{p}_J[/math] — НОК по определению [math]min[/math] полинома.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Пусть [math]\mathbb{J}=\mathbb{J}_1+\mathbb{J}_2 \ (\mathbb{J}\leftrightarrow \mathrm{p}_J, \mathbb{J}_1\leftrightarrow \mathrm{p}_{J1}, \mathbb{J}_2\leftrightarrow \mathrm{p}_{J2})[/math] тогда [math]\mathrm{p}_j=[/math]НОД[math]\{\mathrm{p}_{j1},\mathrm{p}_{j2}\}[/math]
Теорема:
Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{J1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы.

Так же пусть [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1 \dotplus \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{J}[/math].

Тогда [math]\mathrm{p}_J = [/math] НОД[math](\mathrm{p}_{J1},\ \mathrm{p}_{J2})[/math]
Теорема:
Пусть [math]\mathbb{J}_1\leftrightarrow\mathrm{p}_{1},\ \mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_{2} [/math], где [math]\mathrm{p}_{1},\ \mathrm{p}_{2}[/math] — соответствующие минимальные полиномы.

Так же пусть [math]\mathrm{p}_{1},\ \mathrm{p}_{2}[/math] — взаимнопростые.

Тогда [math]\exists \mathrm{q}_1,\ \mathrm{q}_2\in \mathbb{C} : \mathrm{p}_1\cdot\mathrm{q}_1 + \mathrm{p}_2\cdot\mathrm{q}_2 = \mathbb{I}[/math], где [math]\mathbb{I}[/math] — единичный полином.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\mathbb{J}_1 =\mathrm{p}_1\cdot\mathbb{P}\ ,\ \mathbb{J}_2 =\mathrm{p}_2\cdot\mathbb{P} [/math] Рассмотрим [math]\mathbb{J} = \mathbb{J}_1\cdot\mathbb{J}_2\leftrightarrow\mathrm{p}_J = [/math] НОД[math](\mathrm{p}_1,\ \mathrm{p}_2) = \mathbb{I}\Rightarrow\mathbb{J}=\mathbb{P}[/math]

А тогда очевидно, что [math]\mathrm{p}_1\cdot\mathrm{q}_1 + \mathrm{p}_2\cdot\mathrm{q}_2 = \mathbb{I}[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Пусть НОД[math]\{ \mathrm{p}_1,...,\mathrm{p}_k\} = 1\Rightarrow\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{q}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i \cdot \mathrm{q}_i = \mathbb{I}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
по индукции.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]\mathrm{p} = \mathrm{p}_1\cdot ... \cdot \mathrm{p}_k[/math] , где любые [math]\mathrm{p}_i,\ \mathrm{p}_j[/math] — попарно взаимно простые делители [math]\mathrm{p}[/math]

Рассмотрим [math]\mathrm{p}_i^1 = \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{p}_i}[/math].

Тогда [math]\exists\mathrm{q}_1...\mathrm{q}_k\in\mathbb{C}: \sum_{i=1}^k \mathrm{p}_i^1\cdot\mathrm{q}_j = \mathbb{I}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
следствие индукционного обобщения выше.
[math]\triangleleft[/math]