Изменения

Обычно оценка сложности рассматриваемых алгоритмов происходит в модели под названием ''RAM-машина''<ref>[[wikipedia:Random-access_machine |Wikipedia {{---}} Random-access machine]]</ref>. Это означает, что у нас есть оперативная память, из которой мы можем читать и писать произвольную ячейку памяти за время элементарной операции. Таким образом время вычислительных операций и операций с памятью приравниваютсяприравнивается, что сильно упрощает анализ.

Но в таком случае размер данных, с которыми мы работаем, должен помещаться в оперативную память. Предположим, что ее размер порядка <tex>10-100</tex> GB, а обработать нам нужно порядка <tex>10</tex> TB информации. Очевидно, что необходимо использовать какую-то внешнюю память, например {{---}} жесткий диск. Хотя диски существенно дешевле

оперативной памяти и имеют высокую емкость, они гораздо медленнее оперативной памяти из-за механического построения считывания. Для сравнения, время обращения к оперативной памяти порядка <tex>100</tex> ns, а к HDD {{---}} порядка <tex>10</tex> ms. Разница колоссальная (<tex>10^{-7}</tex> s и <tex>10^{-2}</tex> s). Однако, основное время тратится на позиционирование головки жесткого диска, из-за чего разрыв в скорости последовательного чтения не такой большой. Из оперативной памяти можно читать порядка <tex>10</tex> GB/s, с HDD {{---}} порядка <tex>100</tex> MB/s.

Из-за описанного выше, для оценки сложности алгоритмов во внешней памяти была предложена другая модель. Модель говорит гласит следующее {{---}} : у нас есть какая-то внешняя память и процессор со своей внутренней памятью. Внутренняя память ограничена и имеет размер порядка <tex>M</tex> машинных слов. Внешняя память считается безграничной в рамках рассматриваемой задачи, то есть имеет размер хотя бы порядка <tex>N</tex> машинных слов, где <tex>N</tex> {{---}} размер задачи. Чтение и запись из внешней памяти происходит блоками последовательных данных размера <tex>B</tex> {{---}} машинных слов. В качестве меры сложности принимается количество операций ввода-вывода, которые выполняет алгоритм, где одна операция ввода-вывода это либо чтение из внешней памяти одного блока размера <tex>B</tex>, либо запись.

У данной модели есть один существенный недостаток {{---}} : мы никак не учитываем время, которое тратится на вычисления, а считаем только ''IO-complexity''. Из-за этого многие задачи в данной модели решаются быстрее, чем в модели с ''RAM-машиной''. Например, прочитав какой-то блок, далее мы имеем право произвести экспоненциальный по сложности перебор и это никак не будет учитываться. Поэтому нужно иметь в виду, что данная модель стремится эффективно использовать жесткий диск, а не балансировать между использованием процессора и жесткого диска.

Рассмотрим следующую задачу {{---}} на На диске записаны <tex>N</tex> чисел и , нужно найти их сумму (например, по какому-нибудь модулю). Очевидно, что эта задача равносильна просто считыванию данных с диска. Сложность линейного сканирования данных с диска это {{---}} <tex>\left\lceil\dfrac{N}{B}\right\rceil = Scan(N)</tex>. Важно заметить, что из-за округления , в общем случае <tex>\sum\limits_{i = 1}^{k}Scan(N_i) \neq Scan(\sum\limits_{i = 1}^{k}N_i)</tex>.

 Пусть имеется две упорядоченные последовательности размера <tex>N_1</tex> и <tex>N_2</tex> соответственно. Чтобы их слить, можно достаточно завести во внутренней памяти <tex>3 </tex> блока. В первые <tex>2 </tex> мы будем читать сами последовательности, а в третий будем записывать результат слияния, используя стандартный алгоритм с <tex>2 </tex> указателями. Как-то только какой-то из указателей дошел до конца блока необходимо считывать следующий, а когда буфер с результатом слияния заполнился {{---}} необходимо записывать его во внешнюю память и очищать. Сложность алгоритма {{---}} <tex>\mathcal{O}(Scan(N_1 + N_2))</tex>

Поскольку мы легко умеем выполнять слияние упорядоченных последовательностей, то логичным шагом будет рассмотреть сортировку во внешней памяти. Рассмотрим некоторую модификацию алгоритма [[Сортировка слиянием|Merge sort]]. В стандартном алгоритме все элементы разбиваются на пары, после чего сливаются в упорядоченные последовательности длины <tex>2</tex>, те в свою очередь сливаются в последовательности длины <tex>4 </tex> и т.д. так далее (для простоты в данном алгоритме описания будем считать что <tex>N </tex> и <tex>B</tex> это степень двойки). Во внешней памяти не выгодно начинать с последовательностей длины <tex>1</tex>, так как чтение происходит блоками длины <tex>B</tex>. Вместо этого можно целиком считать блок и отсортировать его во внутренней памяти. Тогда количество листьев в дереве сортировки будет не <tex>N</tex>, а <tex>\dfrac{N}{B}</tex>. Помимо этого, гораздо выгоднее сливать больше чем <tex>2 </tex> списка за раз, чтобы уменьшить высоту дерева сортировки. Так как оперативная память размера <tex>M</tex>, то можно сливать сразу <tex>\dfrac{M}{B}</tex> списков. Итого, на каждом уровне дерева сортировки мы выполняем <tex>\mathcal{O}\left(\dfrac{N}{B}\right)</tex> операций и итоговая сложность {{---}} <tex>\mathcal{O}\left(\dfrac{N}{B}\log_{\frac{M}{B}}\dfrac{N}{B}\right) = Sort(N)</tex>.

В качестве небольшой оптимизации можно в начале сортировать во внутренней памяти последовательности длины <tex>M</tex>, а не <tex>B</tex>. Хотя итоговая сложность и станет <tex>\mathcal{O}\left(\dfrac{N}{B}\log_{\frac{M}{B}}\dfrac{N}{M}\right)</tex>, но это уменьшит высоту дерева сортировки всего на единицу, что не очень сильно скажется на времени работы.

Рассмотрим следующую задачу {{---}} пусть у нас Пусть во внешней памяти есть <tex>2 последовательности </tex> таблицы вида <tex>(ключkey, значениеvalue)</tex>. Первая последовательность таблица имеет вид <tex>(k_i, a_{k_i})</tex>, вторая {{---}} <tex>(l_j, b_{l_j})</tex> и мы хотим . Необходимо получить последовательность таблицу вида <tex>(i, a_i, b_i)</tex> (не умоляя общности считаем , что <tex>(k_1 \dots k_N)</tex> и <tex>(l_1 \dots l_N)</tex> являются перестановками чисел от <tex>1 </tex> до <tex>N</tex>). Очевидно, что задача решается просто сортировками последовательностей таблиц по первому аргументу ключу с последующим проходом по ним <tex>2 </tex> указателями. Поэтому сложность алгоритма {{---}} <tex>Sort(N)</tex>. Данный алгоритм хоть и крайне прост, является одним из ключевых примитивов. Когда необходимо совершить какую-то операцию над разбросанными по памяти данными, часто задача сводится к последовательности нескольких Join'ов.

Попробуем решить задачу следующим способом {{---}} выкинем из списка какую-то часть элементов, после чего рекурсивно посчитаем [[Файл:List.png|300px|thumb|Входные данные и ответ для полученного списка]] Данная задача заключается в следующем: дан односвязный список, а затем, зная промежуточный ответ, восстановим ответ то есть для исходной задачи. Первая проблема с которой мы сталкиваемся {{---}} это токаждого элемента известно, что в модифицированном списке ранги элементов отличаютсякакой идет следующим за ним. Чтобы решить эту проблему, решим более общую задачу. Будем считать, что у Необходимо для каждого элемента есть вес <tex>w_i</tex>определить, а ранг элемента это сумма весов каким он является по счету с конца списка. Расстояние до конца спискабудем называть ''рангом'' элемента. Для решения исходной Не смотря на простоту задачи в самом начале присвоим каждому элементу вес 1''RAM-машине'', во внешней памяти задача имеет нетривиальное решение. Из-за того что все данные лежат хаотично, мы не можем просто пройтись по списку, это может потребовать слишком много операций ввода-вывода.

Теперь, если у нас есть 3 последовательных элемента x, y, z (<tex>next[x] = y</tex>, <tex>next[y] = z</tex>), то при удалении элемента <tex>y</tex> нужно увеличить вес <tex>z</tex> на <tex>w_y</tex>. То есть <tex>w_z'=w_z + w_y</tex>. После того, как мы посчитаем ответ для модифицированного списка, ранг удаленного элемента <tex>y</tex> будет равен <tex>r_yИдея ===r_z+w_z</tex>.

Выкидывать по 1 элементу крайне неэффективно, но если выкидывать Решим задачу следующим способом: выкинем из списка какую-то весомую частьэлементов, то нужно быстро пересчитывать веса элементовпосле чего рекурсивно посчитаем ответ для полученного списка. Сделать это можно с помощью уже рассмотренного JoinЗатем, зная промежуточный ответ, однако необходимо наложить ограничение на множество удаляемых элементов: никакие два удаленных элемента не должны идти подряд восстановим ответ для исходной задачи. Первая проблема {{---}} в модифицированном спискеранги элементов отличаются. В противном случае может образоваться цепочка из удаленных элементов произвольной длиныЧтобы решить эту проблему, рассмотрим более общую задачу. Веса всех элементов этой цепочки нужно будет прибавить к первому не удаленному элементуБудем считать, что равносильно самой задаче List Rankingу каждого элемента есть вес, которую мы и пытаемся решитьа ранг элемента это сумма весов до конца списка. Для решения исходной задачи в самом начале присвоим каждому элементу вес <tex>1</tex>.

1) Таблица Conn из пар * <tex>next</tex> {{---}} массив входных данных. <tex>next_x = y</tex> означает, что после элемента <tex>x</tex> идет <tex>y</tex>(i, j)<tex>next_i = 0</tex>значит, где каждая пара значит что после элемент <tex>i</tex> последний в списке). * <tex>w_i</tex> {{--ого -}} вес элемента идет jс номером <tex>i</tex>* <tex>r_i</tex> {{---ый}} ранг элемента с номером <tex>i</tex>

2) Таблица W из пар <tex>(i, w_i)</tex>, хранящая веса === Удаление элементови восстановление рангов ===

Если есть <tex>3</tex> последовательных элемента <tex>x</tex>, <tex>y</tex>, <tex>z</tex> (<tex>next_x = y</tex>, <tex>next_y = z</tex>) Таблица D, в которой записаны удаляемые элементыто при удалении элемента <tex>y</tex> нужно увеличить вес <tex>z</tex> на <tex>w_y</tex>. То есть <tex>w_z'=w_z + w_y</tex>. После того, как мы посчитаем ответ для модифицированного списка, ранг удаленного элемента <tex>y</tex> будет равен <tex>r_y=r_z+w_z</tex>.

Теперь пройдемся 3 указателями по этим таблицам, и если нам встречается триплет вида <tex>(i, j) \in Conn</tex>, <tex>(i, w_i) \in W</tex>, <tex>(i) \in D</tex>, то добавим пару <tex>(j, w_i)</tex>[[Файл:List-ranking-wr. У нас получится таблица добавок. Теперь из таблицы добавок png|400px|Удаление элемента и таблицы весов можно с помощью того же Join получить таблицу новых весов.восстановление ответа]]

По возвращению Выкидывать по <tex>1</tex> элементу крайне неэффективно, но если выкидывать какую-то весомую часть, то нужно быстро пересчитывать веса элементов. Сделать это можно с помощью уже рассмотренного Join, однако необходимо наложить ограничение на множество удаляемых элементов: никакие два удаленных элемента не должны идти подряд в списке. В противном случае может образоваться цепочка из рекурсии аналогично пересчитываются ранги удаленных элементов произвольной длины. Веса всех элементовэтой цепочки нужно будет прибавить к первому не удаленному элементу, что равносильно самой задаче List Ranking, которую мы и пытаемся решить. Рассмотрим 3 таблицы:

1) Таблица RevConn из пар Рассмотрим как именно изменять веса элементов. Построим и отсортируем по ключу <tex>(j, i)3</tex>, где каждая пара значит что после i-ого элемента идет j-ыйтаблицы вида:

2# Таблица <tex>Conn</tex> из пар <tex>(i, j) </tex>, где каждая пара значит что после <tex>i</tex>-ого элемента идет <tex>j</tex>-ый (может быть получена из входных данных за время линейного сканирования)# Таблица <tex>W </tex> из пар <tex>(i, w_i)</tex>, хранящая веса элементов# Таблица <tex>D</tex>, в которой записаны удаляемые элементы

Теперь пройдемся <tex>3</tex> указателями по этим таблицам. Как только встречается триплет вида <tex>(i, j) Таблица R из пар \in Conn</tex>, <tex>(i, r_iw_i)\in W</tex>, <tex>(i) \in D</tex>, то добавим в которой записаны ранги элементов модифицированного спискановую таблицу пару <tex>(j, w_i)</tex>. В конце получится таблица добавок весов. Теперь из таблицы добавок и таблицы весов можно с помощью того же Join получить таблицу новых весов.

Также пройдемся 3 указателями по этим таблицам, и если нам встречается триплет вида По возвращению из рекурсии аналогично пересчитываются ранги элементов. Рассмотрим <tex>(i, j) \in Conn</tex>, <tex>(i, w_i) \in W</tex>, <tex>(i, r_i) \in D3</tex>, то добавим пару <tex>(j, r_i + w_i)</tex> в таблицу новых рангов. Однако в эту таблицу могли попасть лишние записи, которые надо заменить используя таблицу старых рангов и Join.таблицы:

Открытым остался только вопрос какие элементы удалять. В идеале было бы удалять каждый второй элемент # Таблица <tex>RevConn</tex> из пар <tex>(больше нельзяj, иначе ограничение будет нарушеноi)</tex>, но понять какой элемент четныйгде каждая пара значит что после <tex>i</tex>-ого элемента идет <tex>j</tex>-ый# Таблица <tex>W</tex> из пар <tex>(i, w_i)</tex>, какой нечетный не проще чем сама задача ранжирования. Один хранящая веса элементов# Таблица <tex>R</tex> из способов удалять элементы вероятностный. Для каждого элемента в списке бросим монетку. После этого выбросим всех орловпар <tex>(i, после которых в списке идет решка (делается опять же с помощью Joinr_i). В таком случае никакие два выброшенных элемента не будут идти </tex>, в списке подряд. которой записаны ранги элементов модифицированного списка

Также пройдемся <tex>3</tex> указателями по этим таблицам. Если нам встречается триплет вида <tex>(i, j) \in Conn</tex>, <tex>(i, w_i) \in W</tex>, <tex>(i, r_i) \in D</tex>, то добавим пару <tex>(j, r_i + w_i)</tex> в таблицу новых рангов. Однако в эту таблицу попадут все элементы, у которых следующий элемент не был удален. Поэтому далее необходимо заменить лишние записи, используя таблицу старых рангов и Join. === Выбор удаляемых элементов === Открытым остался вопрос о том какие элементы удалять. В идеале было бы удалять каждый второй элемент (больше нельзя, иначе ограничение будет нарушено), но понять какой элемент четный, какой нечетный не проще чем сама задача ранжирования. Один из способов удалять элементы {{---}} вероятностный. Для каждого элемента в списке бросим монетку. После этого выбросим всех орлов, после которых в списке идет решка (делается опять же с помощью Join). В таком случае никакие два выброшенных элемента не будут идти в списке подряд.  Подсчитаем матожидание выброшенных элементов {{---}} <tex>E(D) = \sum\limits_{(i, j) \in Conn}\fracdfrac{1}{4} = \fracdfrac{N}{4}</tex>