19
правок
Изменения
Нет описания правки
== Центр дерева ==
=== Определения ===
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' — <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центральная вершина''' — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центр графа <tex>G</tex>''' — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин.
|proof=
Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
}}
== См. также ==
