Изменения

Пусть дан граф <tex>G = <V, E></tex> Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_= Диаметр дерева =={{u, v \in V} distОпределение|id = tree|definition ='''Диаметр дерева''' (v, uангл. ''diameter of a tree'')</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшнее расстояние максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами .}}

Пусть дан граф <tex>G == Алгоритм ==Возьмём любую вершину \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex> \max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> и найдём расстояния до всех других вершин— кратчайшее расстояние между вершинами.

=== Алгоритм ===* Возьмём любую вершину <tex>d = min\{ v , u \subset graph, v \ne u \}in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = dist(v, ui) </tex>

* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую,что <tex>d[u] >= \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>.Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - — диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].

=== Реализация === <span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span> '''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g): v = u = w = 0 d = bfs(g, v) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[i] > d[u] u = i bfs(g, u) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[i] > d[w] w = i '''return''' d[w]

int diameterTree(graph g) {{Теорема v |statement= u = w Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.|proof= 0; d = bfs(gПусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a,v); for(i = 0; i b< n; i++) if (d[i] /tex> d[u]) u = i; bfs(g,u); for(i = 0; i где <tex>b</tex> не является листом. Так как <tex>b< n; i++) if (d[i] /tex> d[w]) w = i; return d[w]; }     == Обоснование корректности ==Будем пользоваться свойствомне является листом,что в любом дереве то её степень больше одного листа.Исключительный случай-дерево единицы, следовательно, из одной вершины,но алгоритм сработает верно и неё существует ребро в этом случаенепосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем).}}

Искомое расстояние - есть расстояние В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между двумя листамивершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.

Пусть нетПредположим, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершинами существует ребро <tex>au,bv</tex> где между соседними поддеревьями:Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина <tex>bu</tex> - не является листом. Т.к. b не является листом, то значит её степень тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин <tex>>u</tex> 1 => из неё существует ребро мы добавим в непосещенную вершину (дважды посетить список вершину <tex>bv</tex> мы не можем). Лемма доказана, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.

Запустив === Оценка времени работы ===Все операции кроме <tex>BFS от произвольной вершины Мы получим дерево </tex> — <tex>O(1)</tex>.<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>.

== Центр дерева ===== Определения ==={{ТеоремаОпределение|statementid =Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.tree|proofdefinition =Пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершинами '''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of avertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v,bu)</tex> , где <tex>bV</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex> - не является листом. Т}}{{Определение|id = tree|definition ='''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ.к''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>. b не является листом}}{{Определение|id = tree|definition ='''Центральная вершина''' (англ. ''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, то значит её степень такая что <tex>>e(v) = r(G)</tex> 1 }}{{Определение|id =tree|definition ='''Центр графа <tex>G</tex> из неё существует ребро в непосещенную вершину ''' (дважды посетить вершину англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>bG</tex> мы не можем). Лемма доказана.

==== Алгоритм для дерева за O(n) ==== {{ЛеммаТеорема

В дереве BFS не существует ребер между вершинами Каждое дерево имеет центр, состоящий из разных поддеревьев некоторого их общего предкаодной вершины или из двух смежных вершин.

Предположим существуетУтверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, пусть ребро соединяет что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины , что и у дерева <tex>uT'</tex>,vполученного из <tex>T</tex> из разных поддеревьевудалением всех его висячих вершин. Рассмотрим первую вершину в которую приведет наш алгоритм. предположим Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex>до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин мы занесем в список вершину когда <tex>v</tex> тем самым исключим возможность попадания их – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в разные поддеревьядереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.

Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальнаОставшиеся листья являются центром дерева.

ДокажемДля того, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда взяв расстояние от чтобы алгоритм работал за <tex>wO(n)</tex> до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ, нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>bfs</tex>== См. также ==*[[Дерево, очевидно что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex> _эквивалентные_определения|Дерево, что <tex>dist(uэквивалентные определения]]*[[Дополнительный, w)</tex> {{---}} максимально. Очевидно_самодополнительный_граф|Дополнительный, что проблема решается запуском bfs из <tex>u</tex>. самодополнительный граф]]