Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Алгоритмы на деревьях

6346 байт добавлено, 16:09, 8 июня 2017
Определения
__TOC__
'''Диаметр дерева''' - максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути между любыми двумя вершинами.
Алгоритм в этой статье находит диаметр в дереве.
Пусть дан граф <tex>G = <V, E></tex> Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_= Диаметр дерева =={{u, v \in V} distОпределение|id = tree|definition ='''Диаметр дерева''' (v, uангл. ''diameter of a tree'')</tex>, где <tex>dist</tex> кратчайшее расстояние максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами .}}
Пусть дан граф <tex>G == Алгоритм ==Возьмём любую вершину \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex> \max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> и найдём расстояния до всех других вершин— кратчайшее расстояние между вершинами.
=== Алгоритм ===
* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = dist(v, i)</tex>
* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.
Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].
Возьмём вершину === Реализация === <texspan style="color:green"> u //граф g представлен списком смежности</texspan> '''int''' diameterTree('''list<list<int>> такую''' g): v = u = w = 0 d = bfs(g, v) '''for''' i = 0,что i <texn, i++ '''if''' d[i] >d[u] \ge u = i bfs(g, u) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[ti]</tex> для любого <tex>t</tex>.Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин.Самое большое расстояние {{---}} диаметр дерева.d[w] w = iРасстояние до остальных вершин будем искать алгоритмом <tex>BFS</tex>. '''return''' d[w]
== Реализация =Обоснование корректности ===Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.
{{Теорема
|statement=
Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.
|proof=
Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a, b</tex>, где <tex>b</tex> не является листом. Так как <tex>b</tex> не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем).
}}
int diameterTree(graph g) После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>. {{Теорема v |statement= u = w В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.|proof= 0; d = bfs(gПредположим, существует ребро <tex>u,v); </tex> между соседними поддеревьями: for(i = 0; i Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина < n; i++) if (d[i] tex> d[u]) u = i; bfs(g</tex>,тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин <tex>u); for(i = 0; i < n; i++) if (d[i] /tex> мы добавим в список вершину <tex>v</tex> d[w]) w = i; return d[w];, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья. }}
Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>, такой что сумма глубин поддеревьев максимальна.
Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист.
Пусть нет, тогда, взяв расстояние от <tex>w</tex> до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.
== Обоснование корректности ==Будем пользоваться свойствомТаким образом мы доказали,что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в любом дереве больше одного листапару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально.Исключительный случай-дерево Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из одной вершины,но алгоритм сработает верно и в этом случае<tex>u</tex>.
=== Оценка времени работы ===
Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.
<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
== Центр дерева ===== Определения ==={{ТеоремаОпределение|statementid =Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.tree|proofdefinition =Пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершинами '''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of avertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v,bu)</tex> , где <tex>bV</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.}}{{Определение|id = tree|definition ='''Радиус <tex>r(G)</tex> - не является листом''' (англ. Т''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.к}}{{Определение|id = tree|definition ='''Центральная вершина''' (англ. b не является листом''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, то значит её степень такая что <tex>>e(v) = r(G)</tex> 1 }}{{Определение|id =tree|definition ='''Центр графа <tex>G</tex> из неё существует ребро в непосещенную вершину ''' (дважды посетить вершину англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>bG</tex> мы не можем). Лемма доказана.
}}
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
[[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]]
=== Алгоритм ===
==== Наивный алгоритм ====
Найдём центр графа исходя из его определения.
* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].
* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>n</tex>.
* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.
Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице.
  После запуска алгоритма получим дерево <tex>BFS</tex>.==== Алгоритм для дерева за O(n) ====
{{Теорема
|statement=
В дереве BFS не существует ребер между вершинами Каждое дерево имеет центр, состоящий из разных поддеревьев некоторого их общего предкаодной вершины или из двух смежных вершин.
|proof=
Предположим существует ребро Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex>uте же центральные вершины,vчто и у дерева <tex>T'</tex> между соседними поддеревьями:Рассмотрим первую вершину в которую приведет наш алгоритм, предположим это вершина полученного из <tex>uT</tex>, тогда в ходе рассмотрения удалением всех смежных его висячих вершин . Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> мы добавим в список вершину до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex>– висячая вершина. Таким образом, тем самым исключив возможность попадания их эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в разные поддеревьядереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.
}}
Собственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы.
* Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.
* Обрежем помеченные вершины.
* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем.
* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев.
Оставшиеся листья являются центром дерева.
Для того, чтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.
== См. также ==
*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, эквивалентные определения]]
*[[Дополнительный,_самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]]
Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.== Источники информации ==* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист* ''Ф. Харари'': Теория графовПусть нет, тогда взяв расстояние от <tex>w<* [http://tex> до глубочайшего листа мы можем улучшить ответrain.ifmo.  Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u<ru/tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>bfs<cat/tex>, очевидно что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w<data/tex> , что <tex>dist(u, w)<theory/tex> {{graph-location/centers--}} максимально2006/article. Очевидно, что проблема решается запуском bfs из <tex>u</tex>pdf ''А. Клебанов'': Центры графов]
== Оценка производительности ==[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]Все операции кроме <tex>BFS</tex> {{---}} <tex>O(1)</tex>.<tex>BFS</tex> работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем <tex>O(V + E)</tex>.[[Категория: Основные определения теории графов]]
2
правки

Навигация