Изменения

'''Диаметр дерева''' — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути между любыми двумя вершинами. Пусть дан граф <tex>G = \langle V, E \rangle </tex> . Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшее расстояние между вершинами.

* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин.<tex>d[i] = \min\limits_{u, i \in V} dist(uv, i)</tex>

* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \ge geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].

<span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span> '''int''' diameterTree(graph '''list<list<int>>''' g) : v = u = w = 0; d = bfs(g, v); '''for''' i = 0; , i < n; , i++

u = i; bfs(g, u); '''for''' i = 0; , i < n; , i++

w = i; '''return''' d[w];

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>bfsBFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>bfsBFS</tex> из <tex>u</tex>.

=== Оценка производительности времени работы ===

<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его 2 два раза. Получаем <tex>O(|V | + |E|)</tex>. == Центр дерева ===== Определения ==={{Определение|id = tree|definition ='''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of a vertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.}}{{Определение|id = tree|definition ='''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ. ''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.}}{{Определение|id = tree|definition ='''Центральная вершина''' (англ. ''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex> }}{{Определение|id = tree|definition ='''Центр графа <tex>G</tex>''' (англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.}}[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]][[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]] === Алгоритм ======= Наивный алгоритм ====Найдём центр графа исходя из его определения.* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>n</tex>.* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами. Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице. ==== Алгоритм для дерева за O(n)==== {{Теорема|statement=Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин. |proof=Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex>те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин.Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.}} Собственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы. * Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.* Обрежем помеченные вершины.* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем.* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев.  Оставшиеся листья являются центром дерева. Для того, чтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя. == См. также ==*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, эквивалентные определения]]*[[Дополнительный,_самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]] == Источники информации ==* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]* ''Ф. Харари'': Теория графов* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Основные определения теории графов]]