Изменения

== Диаметр дерева =={{Определение|id = tree|definition ='''Диаметр дерева'''Алгоритм:(англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.}} Пусть дан граф <tex>G = \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшее расстояние между вершинами. === Алгоритм ===* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = dist(v, i)</tex> * Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].

d = max{== Реализация === <texspan style="color:green"> v </tex>,<tex> u /граф g представлен списком смежности</texspan> '''int''' diameterTree('''list<tex> \subset graph, list</texint> <tex> ''' g): v \ne = u = w = 0 d = bfs(g, v) '''for''' i = 0, i </texn, i++ '''if''' d[i] >} distd[u] u = i d = bfs(<tex> vg, u ) '''for''' i = 0, i </texn, i++ '''if''' d[i] >)d[w] w = i '''return''' d[w]

Возьмём вершину <tex> u </tex> такую=== Обоснование корректности ===Будем пользоваться свойством,что d[u] >= d[t] для любого tв любом дереве больше одного листа.Снова найдём расстояние до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFSИсключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.

void diameter(graph g) {{Теорема v = u = w |statement= 0; bfs(v); В дереве <tex>BFS<// заполняет массив d[n] расстояниями до всех вершинtex> не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка. for(i |proof= 0; i Предположим, существует ребро < n; i++) if (d[i] tex> d[u]), v</tex> между соседними поддеревьями: Рассмотрим первую вершину, в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина <tex>u = i; bfs(</tex>, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин <tex>u); for(i = 0; i < n; i++) if (d[i] /tex> мы добавим в список вершину <tex>v</tex> d[w]) w = i; return d[w];, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья. }}

'''Обоснование корректности:'''Будем пользоваться свойствомТаким образом мы доказали,что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в любом дереве пару надо сопоставить вершину <tex>= 2 висячих вершинw</tex>, такую что <tex>dist(степерь у них = 1u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.

== Центр дерева ===== Определения ==={{ЛеммаОпределение|statementid =Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.tree|proofdefinition =пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина '''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of avertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v, bu)</tex>, где b - не является листом.Т.к. b не является листом, то значит её степень <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex> 1 =G</tex> из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем). Лемма доказана.

Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS. Теорема. В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предка.Доказательство как про дерево DFSСобственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы.

Мы свели задачу к нахождению * Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.* Обрежем помеченные вершины v.* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем.* Будем повторять, такойпока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, что сумма глубин поддеревьев максимальнаи при этом в дереве будет тоже не более двух листьев.

ДокажемОставшиеся листья являются центром дерева. Для того, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий листчтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя. Пусть нет== См. также ==*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, эквивалентные определения]]*[[Дополнительный, тогда взяв расстояние от v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ. _самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]]

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist== Источники информации ==* [[wikipedia:Distance_(t, pgraph_theory) |Wikipedia {{- max --}} Distance (graph theory)]]* ''Ф. Очевидно, что проблема решается запуском bfs из tХарари'': Теория графов* [http://rain. ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)]

'''Оценка производительности[[Категория:'''Дискретная математика и алгоритмы]]Все операции кроме bfs - О(1)BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)[[Категория: Основные определения теории графов]]