Изменения

== Диаметр дерева =={{Определение|id = tree|definition ='''Диаметр дерева''' - (англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.Алгоритм в этой статье находит диаметр в дереве,причём очень простой реализацией и низким временем работы.}}

Пусть дан граф <tex>G == Алгоритм ==Возьмём любую вершину \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex> \max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> и найдём расстояния до всех других вершин— кратчайшее расстояние между вершинами.

d = min{== Алгоритм ===* Возьмём любую вершину <tex> v </tex>,<tex> u </tex> <tex> \subset graph, in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex> v \ne u </tex>} d[i] = dist(<tex> v, u i)</tex>)

* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую,что <tex>d[u] >= \geqslant d[t] </tex> для любого <tex>t</tex>.Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - — диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин удобно будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]].

=== Реализация === <span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span> '''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g): v = u = w = 0 d = bfs(g, v) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[i] > d[u] u = i d = bfs(g, u) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[i] > d[w] w = i '''return''' d[w]

int diameterTree(graph g) {{Теорема v |statement= u Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.|proof= w = 0; bfs(gПусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a,v); b</tex>, где <tex>b</ заполняет массив d[n] кратчайшими расстояниями до всех вершинtex> не является листом. for(i = 0; i Так как <tex>b< n; i++) if (d[i] /tex> d[u]) u = i; bfs(gне является листом, то её степень больше единицы, следовательно,u); forиз неё существует ребро в непосещённую вершину (i = 0; i дважды посетить вершину <tex>b< n; i++) if (d[i] /tex> d[w]мы не можем). w = i; return d[w]; }}

== Обоснование корректности ==Будем пользоваться свойствомМы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>,такой что в любом дереве >= 2 листов(имеют степень один)сумма глубин поддеревьев максимальна.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS</tex> из <tex>u</tex>.  === Оценка времени работы ===Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.<tex>BFS</tex> работает за линейное время, запускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>. == Центр дерева ===== Определения ==={{ТеоремаОпределение|statementid =Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.tree|proofdefinition =Пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершинами '''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of avertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v,bu)</tex> , где <tex>bV</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex> - не является листом. Т}}{{Определение|id = tree|definition ='''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ.к''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.}}{{Определение|id = tree|definition ='''Центральная вершина''' (англ. b не является листом''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, то значит её степень такая что <tex>>e(v) = r(G)</tex> 1 }}{{Определение|id = tree|definition ='''Центр графа <tex> из неё существует ребро в непосещенную вершину G</tex>''' (дважды посетить вершину англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>bG</tex> мы не можем). Лемма доказана.

 Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS. ==== Алгоритм для дерева за O(n) ====

В дереве BFS не существует ребер между вершинами Каждое дерево имеет центр, состоящий из разных поддеревьев некоторого одной вершины или из общего предкадвух смежных вершин.

Такое Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же как центральные вершины, что и у дерева dfs<tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.

Мы свели задачу к нахождению вершины <tex>w</tex>Собственно, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальнаалгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы.

Докажем* Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.* Обрежем помеченные вершины. Пусть нет, тогда взяв расстояние от * Образовавшиеся листья пометим числом <tex>w1</tex> до глубочайшего листа мы можем улучшить ответи тоже обрежем.* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев.  Оставшиеся листья являются центром дерева.

Таким образом мы доказалиДля того, что нам нужно взять вершину <tex>uчтобы алгоритм работал за </tex> с наибольшей глубиной после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex> , что distO(u, wn) - <tex>max</tex> . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из <tex>u</tex>нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.

== Источники информации ==* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]* ''Ф. Харари''Оценка производительности:Теория графов* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)]