Алгоритмы точного вычисления гиперобъема — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 25: Строка 25:
 
Таким образом, в этом алгоритме перебираются все подмножества точек множества <tex>X</tex>, для каждого множества находится гиперобъем пересечения соответствующих гиперкубов и он прибавляется с соответствующим знаком к ответу.
 
Таким образом, в этом алгоритме перебираются все подмножества точек множества <tex>X</tex>, для каждого множества находится гиперобъем пересечения соответствующих гиперкубов и он прибавляется с соответствующим знаком к ответу.
 
Время работы этого алгоритма составляет <tex>O(n 2^n)</tex>.
 
Время работы этого алгоритма составляет <tex>O(n 2^n)</tex>.
 +
 +
== Алгоритм LebMeasure ==
 +
 +
Алгоритм LebMeasure обрабатывает точки множества <tex>X</tex> по очереди. Для каждой очередной точки <tex>x</tex> находится объем некоторого максимального по включению гиперкуба, доминируемого эксклюзивно только этой точкой <tex>x</tex> и она заменяется на некоторое множество ''порожденных'' точек, которые доминируют оставшуюся область, доминировшуюся до этого точкой <tex>x</tex>.
 +
 +
Например, если изначально было четыре точки в трехмерном пространстве <center><tex>(6, 7, 4), (9, 5, 5), (1, 9, 3), (4, 1, 9)</tex>, </center> то точка <tex>(6, 7, 4)</tex> эксклюзивно доминирует куб с одним концов в <tex>(6, 7, 4)</tex>, а другим - в <tex>(4, 5, 3)</tex>. После добавления объема этого куба в ответу, точка <tex>(6, 7, 4)</tex> порождает три точки: <center><tex>(4, 7, 4), (6, 5, 3), (6, 7, 3)</tex>.</center>При этом, точка <tex>(6, 5, 4)</tex> доминируется точкой <tex>(9, 5, 5)</tex> и сразу удаляется из множества <tex>X</tex>.
 +
 +
Обработка точек продолжается, пока все точки не будут обработаны. Таким образом, время работы алгоритмы напрямую зависит от количества порожденных точек. Легко заметить, что таких точек не более, чем <tex>n^d</tex>, поскольку каждая координата каждой порожденной точки равна соответствующей координате некоторой точки исходного множества <tex>X</tex>.

Версия 20:40, 17 июня 2012

Эта статья находится в разработке!

Постановка задачи

[math]x = (x_1, x_2, ..., x_d; x_i \ge 0) \in R^d[/math] - точка в [math]d[/math]-мерном пространстве.

Точка [math]x[/math] доминирует точку [math]y[/math] ([math]x \succ y[/math]), если [math]\forall i : x_i \ge y_i, \exists j : x_j \gt y_j[/math].

[math]X = (x^1, x^2, ..., x^n) \subset R^d[/math] - множество из [math]n[/math] точек в [math]d[/math]-мерном пространстве таких, что [math]\nexists i \neq j : x_i \succ x_j[/math] - никакая точка не доминируется другой точкой из этого множества.

[math]S(X) = \mu (\bigcup \limits_{x \in X} \{y | y \succ x\}) [/math] - гиперобъем множества [math]X[/math].

В частности, если [math]X = \{x\}[/math], то [math]S(X) = \prod \limits_{i=1}^{d} x_i[/math].

Задача: найти точное значение гиперобъема [math]S(X)[/math] множества из [math]n[/math] точек [math]d[/math]-мерного пространоства.

Алгоритм включения-исключения (Inclusion-Exclusion Algorithm, IEA)

Самый простой алгоритм нахождения гиперобъема базируется на идее комбинаторной формулы включения-искючения. Все множество [math]X[/math] представляется в виде объединения [math]n[/math] гиперкубов ([math]X^i[/math]), соответствующих отдельным точкам [math]x^i[/math].

После этого объем всего множества вычисляется по формуле:
[math] S(X) = \sum \limits_{I \in 2^n} (-1)^{|I|+1} S(\bigcap \limits_{ j \in I} X^j) [/math]

Объем пересечения гиперкубов легко считается как произведение по каждой координате минимального значения этой координаты среди всех точек, которым соответствуют гиперкубы.

Таким образом, в этом алгоритме перебираются все подмножества точек множества [math]X[/math], для каждого множества находится гиперобъем пересечения соответствующих гиперкубов и он прибавляется с соответствующим знаком к ответу. Время работы этого алгоритма составляет [math]O(n 2^n)[/math].

Алгоритм LebMeasure

Алгоритм LebMeasure обрабатывает точки множества [math]X[/math] по очереди. Для каждой очередной точки [math]x[/math] находится объем некоторого максимального по включению гиперкуба, доминируемого эксклюзивно только этой точкой [math]x[/math] и она заменяется на некоторое множество порожденных точек, которые доминируют оставшуюся область, доминировшуюся до этого точкой [math]x[/math].

Например, если изначально было четыре точки в трехмерном пространстве
[math](6, 7, 4), (9, 5, 5), (1, 9, 3), (4, 1, 9)[/math],
то точка [math](6, 7, 4)[/math] эксклюзивно доминирует куб с одним концов в [math](6, 7, 4)[/math], а другим - в [math](4, 5, 3)[/math]. После добавления объема этого куба в ответу, точка [math](6, 7, 4)[/math] порождает три точки:
[math](4, 7, 4), (6, 5, 3), (6, 7, 3)[/math].
При этом, точка [math](6, 5, 4)[/math] доминируется точкой [math](9, 5, 5)[/math] и сразу удаляется из множества [math]X[/math].

Обработка точек продолжается, пока все точки не будут обработаны. Таким образом, время работы алгоритмы напрямую зависит от количества порожденных точек. Легко заметить, что таких точек не более, чем [math]n^d[/math], поскольку каждая координата каждой порожденной точки равна соответствующей координате некоторой точки исходного множества [math]X[/math].