Изменения

'''Алгоритм Бойера-Мура''', разработанный двумя учеными – {{---}} Бойером (Robert S. Boyer) и Муром (J. Strother Moore), считается наиболее быстрым среди алгоритмов общего назначения, предназначенных для поиска подстроки в строке. Важной особенностью алгоритма является то, что он выполняет сравнения в шаблоне справа налево в отличии отличие от многих других алгоритмов.

==АсимптотикиАлгоритм==Фаза предварительных вычислений требует Алгоритм сравнивает символы шаблона <tex>Ox</tex> справа налево, начиная с самого правого, один за другим с символами исходной строки <tex>y</tex>. Если символы совпадают, производится сравнение предпоследнего символа шаблона и так до конца. Если все символы шаблона совпали с наложенными символами строки, значит, подстрока найдена, и поиск окончен. В случае несовпадения какого-либо символа (или полного совпадения всего шаблона) он использует две предварительно вычисляемых эвристических функций, чтобы сдвинуть позицию для начала сравнения вправо. Таким образом для сдвига позиции начала сравнения алгоритм Бойера-Мура выбирает между двумя функциями, называемыми эвристиками хорошего суффикса и плохого символа (иногда они называются эвристиками совпавшего суффикса и стоп-символа). Так как функции эвристические, то выбор между ними простой {{---}} ищется такое итоговое значение, чтобы мы не проверяли максимальное число позиций и при этом нашли все подстроки равные шаблону. Алфавит обозначим буквой <tex>\Sigma</tex>. Пусть <tex>|y|=n</tex>, <tex>|x|=m</tex> и <tex>|\Sigma|=\sigma</tex>. Предположим, что в процессе сравнения возникает несовпадение между символом <tex>x[i]=a</tex> шаблона и символом <tex>y[i+j]=b</tex> исходного текста при проверке в позиции <tex>j</tex>. Тогда <tex>x[i+1 \dots m -1]=y[i+ sigma)j+1 \dots j+m-1]=u</tex> и <tex>x[i] \neq y[i+j]</tex>, и <tex>m - i - 1</tex> символов шаблона уже совпало. ===Правило сдвига хорошего суффикса===Если при сравнении текста и шаблона совпало один или больше символов, шаблон сдвигается в зависимости от того, какой суффикс совпал. Если существуют такие подстроки равные <tex>u</tex>, что они полностью входят в <tex>x</tex> и идут справа от символов, отличных от <tex>x[i]</tex>, то сдвиг происходит к самой правой из них, отличной от <tex> u </tex>. Понятно, что таким образом мы не пропустим никакую строку, так как сдвиг просходит на следующую слева подстроку <tex> u </tex> от суффикса. После выравнивания шаблона по этой подстроке сравнение шаблона опять начнется с его последнего символа. На новом шаге алгоритма можно строку <tex> u </tex> времени , по которой был произведён cдвиг, не сравнивать с текстом {{---}} возможность для модификации и памятидальнейшего ускорения алгоритма.В худшем случае поиск требует [[Файл:boyer-moore-algorithm-1.png|450px|thumb|center|'''Сдвиг хорошего суффикса''', вся подстрока <tex>u</tex> полностью встречается справа от символа <tex>c</tex>, отличного от символа <tex>a</tex>.]] Если не существует таких подстрок, то смещение состоит в выравнивании самого длинного суффикса <tex>v</tex> подстроки <tex>O(y[i+j+1 \dots j+m -1]</tex> с соответствующим префиксом <tex>x</tex>. Из-за того, что мы не смогли найти такую подстроку, то, очевидно, что ни один суффикс шаблона <tex>x</tex> уже не будет лежать в подстроке <tex>y[i+j+1 \cdot n)dots j+m-1]</tex>, поэтому единственный вариант, что в эту подстроку попадет префикс. [[Файл:boyer-moore-algorithm-2.png|450px|thumb|center|'''Сдвиг хорошего суффикса''', только суффикс подстроки <tex>u</tex> повторно встречается в <tex>x</tex> сравнений.]] ===Правило сдвига плохого символа===В лучшем таблице плохих символов указывается последняя позиция в шаблоне (исключая последнюю букву) каждого из символов алфавита. Для всех символов, не вошедших в шаблон, пишем <tex>m</tex>. Предположим, что у нас не совпал символ <tex>c</tex> из текста на очередном шаге с символом из шаблона. Очевидно, что в таком случае требует мы можем сдвинуть шаблон до первого вхождения этого символа <tex>c</tex> в шаблоне, потому что совпадений других символов точно не может быть. Если в шаблоне такого символа нет, то можно сдвинуть весь шаблон полностью. Если символ исходного текста <tex>O(n y[i + j]</tex> встречается в шаблоне <tex>x</ tex>, то происходит его выравнивание с его самым правым появлением в подстроке <tex>x[0 \dots m)-2]</tex>. [[Файл:boyer-moore-algorithm-3.png|450px|thumb|center|'''Сдвиг плохого символа''', символ <tex>a</tex> входит в <tex>x</tex>.]] Если <tex>y[i+j]</tex> не встречается в шаблоне <tex>x</tex>, то ни одно вхождение <tex>x</tex> в <tex>y</tex> не может включать в себя <tex>y[i+j]</tex>, и левый конец окна сравнения совмещен с символом непосредственно идущим после <tex>y[i+j]</tex>, то есть символ <tex>y[i+j+1]</tex>. [[Файл:boyer-moore-algorithm-4.png|450px|thumb|center|'''Сдвиг плохого символа''', символ <tex>b</tex> не входит в <tex>x</tex> сравнений.]] Обратите внимание, что сдвиг плохого символа может быть отрицательным, поэтому исходя из ранее приведенных свойств этих функций берется значение равное максимуму между сдвигом хорошего суффикса и сдвигом плохого символа. ===Формальное определение===

В 1991 году Р.Коул доказал следующую теоремуТеперь определим две функции сдвигов более формально следующим образом:{{Теорема|author=Richard Cole|statement=В худшем случае требуется <tex>O(3 \cdot n)</tex> сравнений в случае шаблона с периодом равным длине самого шаблона.|proof=Доказательство [http://www.cs.nyu.edu/cs/faculty/cole/papers/CHPZ95.ps]}}

==Алгоритм==Алгоритм сравнивает символы ''шаблона'' (Пусть значения функции сдвига хорошего суффикса хранятся в массиве <tex>ybmGs</tex>) справа налево, начиная с самого правого, один за другим с символами ''исходной строки'' (размером <tex>xm+1</tex>). В случае несовпадения какого-либо символа (или полного совпадения всего шаблона) он использует две предварительно вычисляемых функций, чтобы сдвинуть позицию для начала сравнения вправо.

Пусть Определим два условия:* <tex>|y|\mathrm{Cs}(i, s)</tex>: для каждого <tex>k</tex> такого, что <tex>i < k < m</tex> выполняется <tex>s \geqslant k</tex> или <tex>x[k-s]=nx[k]</tex> и * <tex>|\mathrm{Co}(i, s)</tex>: если <tex>s < i</tex>, то выполняется <tex>x[i-s] \neq x|=m[i]</tex>.

Предположим, что в процессе сравнения возникает несовпадение между символом Тогда для всех <tex>x[i]=a</tex> шаблона и символом таких, что <tex>y[0 \leqslant i+j]=b</tex> исходного текста при проверке в позиции <tex>jm</tex>. Тогда выполняется <tex>xbmGs[i+1 .. m-1]=y[i+j+1 .. j+m-1]=u</tex\min\{s > и <tex>x[0 : \mathrm{Cs}(i] , s)\ \wedge\ \neq y[mathrm{Co}(i+j]</tex>, т.е. <tex>m - i - 1s)\}</tex> символов паттерна уже совпало.

Операция '''сдвига хорошего суффикса''' состоит в выравнивании подстроки А значение <tex>ubmGs[0]</tex> с его самым правым вхождением в <tex>x</tex>, что идет впереди символаопределим, отличного от как длину периода шаблона <tex>x[i]</tex>.

[[Файл:boyer-moore-algorithm-1.gif|450px|thumb|center|'''Сдвиг хорошего суффикса''', подстрока Для вычисления <tex> bmGs </tex> будем использовать функцию <tex>u\mathrm{suffixLength}</tex> повторно встречается до символа , определенную так:для всех <tex>ci</tex>таких, отличного от символа что <tex>a1 \leqslant i < m</tex>.выполняется <tex>\mathrm{suffixLength}(i)=\max\{k : x[i-k+1 \dots i]=x[m-k \dots m-1]\}</tex>

Если не существует такого сегмента, то смещение состоит Сдвиги плохих символов будем хранить в выравнивании самого длинного суффикса массиве <tex>vbmBc</tex> подстроки размером <tex>\sigma</tex>y[i+j+1 .. j+m-1]Для каждого символа <tex>c</tex> из <tex>\Sigma</tex> с соответствующим префиксом : <tex>bmBc[c] = \begin{cases} \min\{i : 1 \leqslant i < m-1\ \wedge\ x[m-1-i]=c\}, & \mbox{if } c \in x\\ m, & \mbox{otherwise}\end{cases}</tex>.

[[Файл:boyer-moore-algorithm-2.gif|450px|thumb|center|'''Сдвиг хорошего суффикса''', только суффикс подстроки Массивы <tex>bmBc</tex> и <tex>bmGs</tex> вычисляются за <tex>uO(m^2+\sigma)</tex> повторно встречается в времени до основной фазы поиска и требуют, очевидно, <tex>xO(m+\sigma)</tex>памяти.]]

Операция '''сдвига плохого символа''' состоит в выравнивании символа исходного текста ==Псевдокод==Константой <tex>у[i + j]</tex> с его самым правым появлением в <tex>x[0 .. m-2]|\Sigma|=\sigma</tex>обозначим размер нашего алфавита.

Функция для вычисления таблицы сдвигов плохих символов. Она будет равна длине шаблона для всех символов, которые не встречаются в шаблоне, и порядковому номеру с конца для остальных (кроме последнего, для него тоже берется длина шаблона). Вычисляется прямо по определению за <tex>O(m+\sigma)</tex>. '''int'''[] preBmBc('''char'''[Файлm] x):boyer-moore-algorithm-3.gif '''int''' table<tex>[</tex> <tex>|450px|thumb|center\Sigma|</tex> <tex>]</tex> <font color=green>// Заполняем значением по умолчанию, равным длине шаблона</font> '''Сдвиг плохого символаfor''', символ i = 0 .. <tex>a|\Sigma|</tex> входит в - 1 table[i] = m <texfont color=green>x// Вычисление функции по определению</texfont> '''for''' i = 0 ..m - 2 table[x[i]]= m - 1 - i '''return''' table

Если Функция, проверяющая, что подстрока <tex>yx[i+jp \dots m - 1]</tex> не встречается в шаблоне x, то ни одно вхождение x в y не может включать в себя является префиксом шаблона <tex>y[i+j]x</tex>, и левый конец окна сравнения совмещен с символом непосредственно идущим после . Требует <tex>y[i+j]O(m - p)</tex>времени. '''boolean''' isPrefix('''char'''[m] x, т'''int''' p): '''int''' j = 0 '''for''' i = p .е. <tex>ym - 1 '''if''' x[i] != x[j] '''return''' false ++j+1]</tex>. '''return''' true

Функция, возвращающая для позиции <tex>p</tex> длину максимальной подстроки, которая является суффиксом шаблона <tex>x</tex>. Требует <tex>O(m - p)</tex> времени. //здесь неправильно, нет смысла сравнивать элементы ШАБЛОНА С САМИМ СОБОЙ '''int''' suffixLength('''char'''[[Файлm] x, '''int''' p):boyer-moore '''int''' len = 0 '''int''' i = p '''int''' j = m -algorithm-4.gif|450px|thumb|center|1 '''Сдвиг плохого символаwhile''', символ i <tex>b\geqslant</tex> не входит в <tex>0 '''and''' x</tex>.[i]== x[j] ++len --i --j '''return''' len

Функция для вычисления сдвигов хороших суффиксов. Требует <tex>O(m)</tex> времени, несмотря на циклы в вызываемых функциях, из-за того, что каждый внутренний цикл в худшем случае будет выполняться на каждой позиции <tex>i</tex> не больше, чем <tex>i</tex> раз. Получается натуральный ряд, сумма <tex>m</tex> первых членов которого <tex dpi==Псевдо"150">\frac{m \cdot (m -код==1)}{2}</tex>. Следовательно, получается оценка по времени <tex>O(m^2)</tex>. void preBmBc'''int'''[] preBmGs('''char *'''[m] x, ): '''int ''' table[m, int bmBc[]) { '''int i;''' lastPrefixPosition = m '''for (''' i = m - 1 .. 0; <font color=green>// Если подстрока x[i +1..m-1] является префиксом, то запомним её начало< ASIZE; /font> '''if''' isPrefix(x, i +1) lastPrefixPosition = i +i)1 bmBctable[m - 1 - i] = lastPrefixPosition - i + m;- 1 <font color=green>// Вычисление функции по определению</font> '''for (''' i = 0; i < .. m - 1; ++2 '''int''' slen = suffixLength(x, i) bmBc[xtable[i]slen] = m - 1 - i - 1;+ slen } '''return''' table

Основная функция алгоритма Бойера-Мура void suffixes'''function''' BM('''char *x'''[n] y, int '''char'''[m, ] x): '''vector <int *suff) {>''' '''vector <int f>''' answer <font color=green>// вектор, g, i;содержащий все вхождения подстроки в строку</font> suff['''if''' m == 0 answer.pushBack(- 1) <font color=green>// Искомая подстрока является пустой</font> '''return''' answer <font color=green>// Предварительные вычисления</font> '''int'''<tex>[</tex> <tex>|\Sigma|</tex> <tex>] </tex> bmBc = preBmBc(x) '''int'''[m;] bmGs = preBmGs(x) g <font color= m - 1;green>// Поиск подстроки</font> '''for (''' i = m - 2; i >1 .. n - 1 '''int''' j = 0; -m -1 '''while''' x[j] == y[i) {] '''if ''' j == 0 answer.pushBack(i ) <font color=green> g && suff[// Найдена подстрока в позиции i + m </font> - 1 - f] < i - g)-j suff[ i] += suffmax(bmGs[i + m - 1 - fj];, bmBc[y[i]]) else { '''if ''' (i answer == <tex> \varnothing < g/tex>) g answer.pushBack(-1) <font color= i;green>// Искомая подстрока не найдена</font> '''return''' answer  f = i;=Пример== while (g Пусть нам дана строка <tex>y = 0 && GCATCGCAGAGAGTATACAGTACG</tex> и образец <tex>x=GCAGAGAG</tex>. Построим массивы <tex>bmBc</tex> и <tex>bmGs</tex> : [[gФайл:RaitaPre.png|250px] == x[g + m - 1 - f]) --g; suff[i[Файл:Crochemore.png|300px]] = f - g; } }Рассмотрим шаги алгоритма: } {| class = "wikitable" void preBmGs! Изображение !! <tex>(char *x, int mj, int bmGs[y[j]]) {</tex> !! Описание|-align="center" int i, j, suff|[[XSIZEФайл:BMexample1.png|550px]]; suffixes|<tex>(x7, m, suff1);</tex> for (i = 0; i |Сравниванием последние символы, они неравны, поэтому сдвигаемся на < m; ++i) tex> bmGs[iy[j]]</tex>, где <tex>y[j] = m; </tex> {{---}} это не совпавший символ. В данном случае <tex>y[j ]= 0; for (i 7</tex>, а <tex> bmGs[7]= m - 1; i </tex>.|-align= 0; --i)"center" if (suff|[[iФайл:BMexample2.png|550px]] == i + 1) for |<tex>(; j 8, 4)< m - 1 - i; ++j)/tex> if (|Последние символы совпали. Предпоследние совпали. Третьи символы с конца различны, сдвигаемся на <tex> bmGs[j5] =4</tex>.|-align= m"center"|[[Файл:BMexample3.png|550px]]|<tex>(12, 7)</tex> |Последние символы совпали, сравниваем далее. Строчка найдена. Продолжаем работу и сдвигаемся на <tex> bmGs[j0] = m 7</tex>.|- 1 - i;align="center"|[[Файл:BMexample4.png|550px]] for |<tex>(i 19, 4)</tex>|Последние символы совпали. Предпоследние совпали. Третьи символы с конца различны, сдвигаемся на <tex> bmGs[5]= 0; i 4</tex>.|-align= m - 2; ++i)"center" bmGs|[m - 1 - suff[iФайл:BMexample5.png|550px]] |<tex>(23, 7)</tex>|Последние символы совпали, предпоследние различны. Алгоритм закончил работу.|-align= m - 1 - i;"center" |} В итоге, чтобы найти одно вхождение образца длиной <tex>m = 8</tex> в образце длиной <tex>n = 24</tex>, нам понадобилось <tex>17</tex> сравнений символов. ==Асимптотики== void BM* Фаза предварительных вычислений требует <tex>O(char m^2 + \sigma)</tex> времени и памяти.*x, int В худшем случае поиск требует <tex>O(m, char \cdot n)</tex> сравнений.*y, int В лучшем случае требует <tex > \Omega \left( \dfrac{n}{m} \right) {</tex> сравнений. int i, j, bmGs[XSIZE], bmBc[ASIZE]; '''Пример:''' Исходный текст <tex>bb \dots bb</* Preprocessing *tex> и шаблон <tex>abab \dots abab</ preBmGs(xtex>. Из-за того, что все символы <tex>b</tex> из текста повторяются в шаблоне <tex>\dfrac{m}{2}</tex> раз, bmGsэвристика хорошего суффикса будет пытаться сопоставить шаблон в каждой позиции (суммарно, <tex>n</tex> раз); preBmBc(x, а эвристика плохого символа в каждой позиции будет двигать строку <tex>\dfrac{m}{2}</tex> раз. Итого, bmBc<tex>O(n \cdot m);</tex>. где <tex>n</tex> {{---}} длина исходного текста, <tex>m</* Searching *tex> {{---}} длина шаблона, <tex>\sigma</tex> {{---}} размер алфавита.  j = 0;=Варианты== while (j <= n ==Алгоритм Бойера — Мура — Хорспула===Этот алгоритм работает лучше Бойера-Мура на случайных текстах — для него оценка в среднем лучше.Алгоритм использует только сдвиги плохих символов, при этом за такой символ берётся символ из исходного текста, который соответствует последнему символу шаблона, независимо от того, где случилось несовпадение.Поскольку реальные поисковые образцы редко имеют равномерное распределение, алгоритм Бойера-Мура- Хорспула может дать как выигрыш, так и проигрыш по сравнению с стандартной реализацией.===Алгоритм Чжу — Такаоки===На коротких алфавитах сдвиги плохих символов не помогают уже на коротких суффиксах. Простейший способ улучшить работу алгоритма в таких условиях — вместо одного плохого символа строить таблицу для пары символов: несовпавшего и идущего перед ним. Такой алгоритм получил собственное имя: алгоритм Чжу — Такаоки.На предварительную обработку расходуется <tex>O(m+\sigma^2) {</tex> времени. ==Сравнение с другими алгоритмами== for (i = m - 1; i >= 0 && x[i] =Достоинства=== y* Алгоритм Бойера-Мура на хороших данных очень быстр, а вероятность появления плохих данных крайне мала. Поэтому он оптимален в большинстве случаев, когда нет возможности провести предварительную обработку текста, в котором проводится поиск.* На больших алфавитах (относительно длины шаблона) алгоритм чрезвычайно быстрый и требует намного меньше памяти, чем [[i + j]; Алгоритм Ахо-Корасик|алгоритм Ахо-i);Корасик]]. if * Позволяет добавить множество модификаций, таких как поиск подстроки, включающей ''любой символ (i < 0?) { OUTPUT'' (но для реализации ''множества символов (j*)'' не подходит, так как длина шаблона должна быть известна заранее);.  j += bmGs[0];==Недостатки===* Алгоритмы семейства Бойера-Мура не расширяются до приблизительного поиска, поиска любой строки из нескольких.* На больших алфавитах (например, Юникод) может занимать много памяти. В таких случаях либо обходятся хэш-таблицами, либо дробят алфавит, рассматривая, например, 4-байтовый символ как пару двухбайтовых. }* На искусственно подобранных неудачных текстах скорость алгоритма Бойера-Мура серьёзно снижается. else j += MAX(bmGs=Источники информации==* [[iwikipedia:ru:Алгоритм_Бойера_—_Мура|Википедия {{---}} Алгоритм Бойера-Мура]], bmBc* [y[i + jwikipedia:ru:Алгоритм_Бойера_—_Мура_—_Хорспула|Википедия {{---}} Алгоритм Бойера-Мура-Хорспула]] * [[wikipedia:Boyer–Moore_string_search_algorithm|Wikipedia {{--- m + 1 + i);}} Boyer–Moore string search algorithm]] }* [http://www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/string/node14.html#SECTION00140 Boyer-Moore algorithm] }* [http://algolist.manual.ru/search/esearch/bm.php Алгоритм Боуера-Мура]

==Ссылки==* [http[Категория://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%91%D0%BE%D0%B9%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D1%83%D1%80%D0%B0 Википедия:Алгоритм Бойера-МураДискретная математика и алгоритмы]]* [http[Категория://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%91%D0%BE%D0%B9%D0%B5%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9C%D1%83%D1%80%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D1%81%D0%BF%D1%83%D0%BB%D0%B0 Википедия:Алгоритм Бойера-Мура-ХорспулаПоиск подстроки в строке]]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Boyer%E2%80%93Moore_string_search_algorithm Wikipedia[Категория:Boyer–Moore string search algorithmТочный поиск]* [http://www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/string/node14.html#SECTION00140]