Алгоритм Борувки

Материал из Викиконспекты
Версия от 00:43, 15 декабря 2012; Watson (обсуждение | вклад) (Реализация)
Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Борувки — алгоритм поиска минимального остовного дерева (minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе. Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой.

Описание алгоритма

Пока [math]F[/math] не является деревом

  1. Для каждой компоненты связанности находим минимальное по весу ребро, которое связывает вершину из данной компоненты с вершиной, не принадлежащей данной компоненте.
  2. Добавим в [math]F[/math] все ребра, которые хотя бы для одной компоненты оказались минимальными.

Получившееся множество [math]F[/math] является минимальным остовным деревом графа [math]G[/math].


Реализация

Псевдокод второго прохода:

  dfs([math]v, c, parent[/math])
      для всех  вершин u смежных v:
           если ([math]u[/math] родитель) 
               переходим к следующей итерации
           если ([math]u[/math] не посещена)
               если ([math]return[u] \gt = enter[v][/math])
                   [math]c2 \leftarrow[/math] новый цвет
                   [math]col[vu] \leftarrow c2[/math]
                   dfs([math]u, c2, v[/math])
               иначе
                   [math]col[vu] \leftarrow c[/math]
                   dfs([math]u, c, v[/math])
           иначе:
               если ([math]enter[u] \lt = enter[v][/math])
                   [math]col[vu] \leftarrow c[/math]          
   start()
       для всех v вершин графа:
           если ([math]v[/math] не посещена)
               dfs([math]v, -1, -1[/math])

Вход: граф [math]G = (V, E)[/math]
Выход: минимальный остов [math]F[/math] графа [math]G[/math]
1) [math]F := (V, \varnothing)[/math]
1) Отсортируем [math]E[/math] по весу ребер.
2) Заведем систему непересекающихся множеств (DSU) и инициализируем ее множеством [math]V[/math].
3) Перебирая ребра [math]uv \in EG[/math] в порядке увеличения веса, смотрим, принадлежат ли [math]u[/math] и [math]v[/math] одному множеству. Если нет, то объединяем множества, в которых лежат [math]u[/math] и [math]v[/math], и добавляем ребро [math]uv[/math] к [math]F[/math].

Асимптотика

Сортировка [math]E[/math] займет [math]O(E\log E)[/math].
Работа с DSU займет [math]O(E\alpha(V))[/math], где [math]\alpha[/math] - обратная функция Аккермана, которая не превосходит 4 во всех практических приложениях и которую можно принять за константу.
Алгоритм работает за [math]O(E(\log E+\alpha(V))) = O(E\log E) = O(E\log V^2) = O(E\log V)[/math].

Литература

  • Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)

См. также