Изменения

'''Алгоритм Витерби''' (англ. ''Viterbi algorithm'') был представлен в 1967 году для декодирования сверточных кодов, поступающих через зашумленный канал связи. В 1969 году Омура (Omura) показал, что основу алгоритма Витерби составляет оценка максимума правдоподобия, которая является популярным статистическим методом для создания статистической модели на основе данных и обеспечения оценки параметров модели(т.е. оценка неизвестного параметра максимизацией функции правдоподобия).

#1На каждом такте работы кодера <tex>\mathtt{k}</tex> символов входной полубесконечной последовательности преобразуются в <tex>\mathtt{n} > \mathtt{k}</tex> символов выходной#2Также в преобразовании участвуют <tex>\mathtt{m}</tex> предыдущих символов#3Выполняется свойство линейности (если <tex>\mathtt{x}</tex> соответствует <tex>\mathtt{X}</tex>, а <tex>\mathtt{y}</tex> соответствует <tex>\mathtt{Y}</tex>, то <tex>\mathtt{ax} + \mathtt{by}</tex> соответствует <tex>\mathtt{aX} + \mathtt{bY}</tex>).

#Скрытые и наблюдаемые события должны быть последовательностью, которая чаще всего упорядочена по времени.

#Вычисление наиболее вероятной скрытой последовательности до момента <tex>\mathtt{t}</tex> зависит только от наблюдаемого события в этот момент времени и наиболее вероятной последовательности до момента <tex>\mathtt{t − } - 1</tex> (динамическое программирование).

#Пространство наблюдений <tex>\mathtt{O } =\{\mathtt{o_1},\mathtt{o_2 } \ldots \mathtt{o_N}\}</tex>#Пространство состояний <tex>\mathtt{S } =\{\mathtt{s_1},\mathtt{s_2 } \ldots \mathtt{s_K}\}</tex>#Последовательность наблюдений <tex>\mathtt{Y } =\{\mathtt{y_1},\mathtt{y_2 } \ldots \mathtt{y_T}\}</tex>#Матрица <tex>\mathtt{A}</tex> переходов из <tex>\mathtt{i}</tex>-того состояния в <tex>\mathtt{j}</tex>-ое, размером <tex>\mathtt{K } \times \mathtt{K}</tex> #Матрица эмиссии <tex> \mathtt{B }</tex> размера <tex>\mathtt{K } \times \mathtt{N}</tex>, которая определяет вероятность наблюдения <tex>\mathtt{o_j}</tex> из состояния <tex>\mathtt{s_i}</tex>#Массив начальных вероятностей <tex>\mathtt{\pi}</tex> размером <tex>\mathtt{K}</tex>, показывающий вероятность того, что начальное состояние <tex>\mathtt{s_i}</tex>

<tex>\mathtt{X } =\{\mathtt{x_1},\mathtt{x_2 } \ldots \mathtt{x_T}\}</tex> {{---}} последовательность состояний, которые привели к последовательности наблюдений <tex>\mathtt{Y}</tex>.

Создадим две матрицы <tex>\mathtt{TState}</tex> и <tex>\mathtt{TIndex}</tex> размером <tex>\mathtt{K } \times \mathtt{T}</tex>. Каждый элемент <tex>\mathtt{TState}[\mathtt{i},\mathtt{j}]</tex> содержит вероятность того, что на <tex>\mathtt{j}</tex>-ом шаге мы находимся в состоянии <tex>\mathtt{s_i}</tex>. Каждый элемент <tex>\mathtt{TIndex}[\mathtt{i},\mathtt{j}]</tex> содержит индекс наиболее вероятного состояния на <tex>\mathtt{j} -1}</tex>-ом шаге.

'''Шаг 1.''' Заполним первый столбец матриц <tex>\mathtt{TState}</tex> на основании начального распределения, и <tex>\mathtt{TIndex}</tex> нулями.

'''Шаг 2.''' Последовательно заполняем следующие столбцы матриц <tex>\mathtt{TState}</tex> и <tex>\mathtt{TIndex}</tex>, используя матрицы вероятностей эмиссий и переходов.

'''Шаг 3.''' Рассматривая максимальные значения в столбцах матрицы <tex>\mathtt{TIndex}</tex>, начиная с последнего столбца, выдаем ответ.

*<tex>\mathtt{V_{1,k}} = \mathrm{P}(\mathtt{y_1 } \mid \mathtt{k}) \cdot \pi_k</tex>*<tex>\mathtt{V_{t,k}} = \max_max\limits_{\mathtt{x } \in \mathtt{S}} \left( \mathrm{P}( \mathtt{y_t } \mid \mathtt{k}) \cdot \mathtt{A_{x,k}} \cdot \mathtt{V_{t-1,x}}\right)</tex>Где <tex>\mathtt{V_{t,k}}</tex> это вероятность наиболее вероятной последовательностельностипоследовательности, которая ответственна за первые <tex>\mathtt{t}</tex> наблюдений, у которых <tex>\mathtt{k}</tex> является завершающим состоянием. Путь Витерби может быть получен сохранением обратных указателей, которые помнят какое состояние было использовано во втором равенстве. Пусть <tex>\mathrm{Ptr}(\mathtt{k},\mathtt{t})</tex> {{---}} функция, которая возвращает значение <tex>\mathtt{x}</tex>, использованное для подсчета <tex>\mathtt{V_{t,k}}</tex> если <tex>\mathtt{t } > 1</tex>, или <tex>\mathtt{k}</tex> если <tex>\mathtt{t}=1</tex>. Тогда:*<tex>\mathtt{x_T } = \arg\max_mathtt{x } \in \mathtt{S} (: \mathtt{V_{T,x})} \leadsto \max</tex>*<tex>\mathtt{x_{t-1}} = \mathrm{Ptr}(\mathtt{x_t},\mathtt{t})</tex>

Функция возвращает вектор <tex>\mathtt{X}</tex> : последовательность номеров наиболее вероятных состояний, которые привели к данным наблюдениям. '''viterbi'''(<tex>\mathrm{Viterbi}(\mathtt {O}, \mathtt {S}, \mathtt {P} , \mathtt {Y}, \mathtt {A}, \mathtt {B})</tex>) '''for''' <tex>\mathtt{j} = 1</tex> '''to''' <tex>\mathtt {K}</tex> <tex>\mathtt{TState}[i\mathtt{j}, 1]} = \mathtt {P}[i\mathtt{j}] * \mathtt{B}[i\mathtt{j}, \mathtt{Y}[1]]}</tex> <tex>\mathtt{TIndex}[i\mathtt{j}, 1]} = 0</tex> '''for''' <tex>\mathtt{i} = 2</tex> '''to''' <tex>\mathtt {T}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j} = 1</tex> '''to''' <tex>\mathtt {K}</tex> <tex>\mathtt{TStateTIndex}[\mathtt{j}, \mathtt{i}]} = \max_{1 \leqslant \mathtt{k}\leqslant in \mathtt{K}} \limits : (\mathtt{TState}[\mathtt{k}, \mathtt{i } - 1] * \mathtt{A}[\mathtt{k}, \mathtt{j}] * \mathtt{B}[\mathtt{j}, \mathtt{Y}[\mathtt{i}]]})\leadsto \max</tex> <tex>\mathtt{TIndexTState}[\mathtt{j}, \mathtt{i}]} = \argmathtt{TState}[\max_mathtt{1 \leqslant TIndex}[\mathtt{kj}\leqslant , \mathtt{Ki}} \limits (], \mathtt{TState[k, i } - 1] * \mathtt{A}[\mathtt{k}, \mathtt{j}] * \mathtt{B}[\mathtt{j}, \mathtt{Y}[\mathtt{i}]]})</tex> ''<font color=green>// функция arg max() ищет максимум выражения в скобках и возвращает аргумент // (в нашем случае <tex>\mathtt{kX}</tex>), при котором достигается этот максимум</font>'' <tex>[\mathtt{X[T}]} = \arg\max_{1 \leqslant \mathtt{k}\leqslant \mathtt{K}} \limits (\mathtt{TState}[\mathtt{k}, \mathtt{T}]})</tex>

<tex>\mathtt{X}[\mathtt{i } - 1]} = \mathtt{TIndex}[\mathtt{X}[\mathtt{i}], \mathtt{i}]}</tex>

Таким образом, алгоритму требуется <tex> \mathrm{O}(\mathtt{T}\times\left|{\mathtt{K}}\right|^2)</tex> времени.

Алгоритм используется в <tex>\mathrm{CDMA }</tex> и <tex>\mathrm{GSM }</tex> цифровой связи, в модемах и космических коммуникациях. Он нашел применение в распознавании речи и письма, компьютерной лингвистике и биоинформатике, а также в алгоритме свёрточного декодирования Витерби.