105
правок
Изменения
м
Основной цикл выполняется <tex>V</tex> раз. Релаксация выполнится всего <tex>E</tex> раз. В реализации алгоритма присутствует функция выбора вершины с минимальным значением <tex>d</tex>, асимптотика её и релаксация по всем рёбрам для данной вершины. Асимптотика работы зависит от реализации.
Таким образом:Пусть <tex>n</tex> {{---}} количество вершин в графе, <tex>m</tex> {{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align:center" width=30%--}} количество рёбер в графе. !style="background:#f2f2f2"{|Структура данных !styleclass="background:#f2f2f2wikitable"|Время работы
|style="background:#f9f9f9"|[[Двоичная куча]]! Поиск минимума|style="background:#f9f9f9"|<tex>O(E\log{V})</tex>! Релаксация! Общее
Нет описания правки
== Псевдокод ==
'''func''' dijkstra(s)''':'''
'''for''' i = 0 '''to''' n <font color="green"tex>// n {{---}} количество вершин в графеv \in V</fonttex>
d[v] = <tex>\infty</tex>
used[v] = ''false''
d[s] = 0
'''for''' <tex>i = 0 '''to''' n\in V</tex>
v = ''null''
'''for''' <tex>j = 0 '''to''' n \in V</tex> <font color="green">// найдем найдём вершину с минимальным расстоянием</font>
'''if''' !used[j] '''and''' (v == ''null'' '''or''' d[j] < d[v])
v = j
|proof=
Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины <tex>u</tex>, <tex>d(u) = \rho(s, u)</tex>.
* На первом шаге выбирается <tex>s</tex>, для нее неё выполнено: <tex>d(s) = \rho(s, s) = 0</tex>
* Пусть для <tex>n</tex> первых шагов алгоритм сработал верно и на <tex>n + 1</tex> шагу выбрана вершина <tex>u</tex>. Докажем, что в этот момент <tex>d(u) = \rho(s, u)</tex>. Для начала отметим, что для любой вершины <tex>v</tex>, всегда выполняется <tex>d(v) \geqslant \rho(s, v)</tex> (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть <tex>P</tex> — кратчайший путь из <tex>s</tex> в <tex>u</tex>, <tex>v</tex> {{---}} первая непосещённая вершина на <tex>P</tex>, <tex>z</tex> {{---}} предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь <tex>P</tex> кратчайший, его часть, ведущая из <tex>s</tex> через <tex>z</tex> в <tex>v</tex>, тоже кратчайшая, следовательно <tex>\rho(s, v) = \rho(s, z) + w(zv)</tex>. По предположению индукции, в момент посещения вершины <tex>z</tex> выполнялось <tex>d(z) = \rho(s, z)</tex>, следовательно, вершина <tex>v</tex> тогда получила метку не больше чем <tex>d(z) + w(zv) = \rho(s, z) + w(zv) = \rho(s, v)</tex>, следовательно, <tex>d(v) = \rho(s, v)</tex>. С другой стороны, поскольку сейчас мы выбрали вершину <tex>u</tex>, её метка минимальна среди непосещённых, то есть <tex>d(u) \leqslant d(v) = \rho(s, v) \leqslant \rho(s, u)</tex>, где второе неравенсто верно из-за ранее упомянутого определения вершины <tex>v</tex> в качестве первой непосещённой вершины на <tex>P</tex>, то есть вес пути до промежуточной вершины не превосходит веса пути до конечной вершины вследствие неотрицательности весовой функции. Комбинируя это с <tex>d(u) \geqslant \rho(s, u)</tex>, имеем <tex>d(u) = \rho(s, u)</tex>, что и требовалось доказать.
== Оценка сложности ==
|-
! rowspan="2" |style! colspan="background:#f9f9f93"|Наивная реализацияВремя работы|style! rowspan="background:#f9f9f92"|<tex>O(V^2+E)</tex>Описание
|-
|-
|stylealign="background:#f9f9f9center" | Наивная реализация| align="center" | <tex>O(n)</tex>| align="center" | <tex>O(1)</tex>| align="center" | <tex>O(n^2 + m)</tex>| align="center" | <tex>n</tex> раз осуществляем поиск вершины с минимальной величиной <tex>d</tex> среди <tex>O(n)</tex> непомеченных вершин и <tex>m</tex> раз проводим релаксацию за <tex>O(1)</tex>. Для плотных графов (<tex>m \approx n^2</tex>) данная асимптотика является оптимальной.|-| align="center" | [[Двоичная куча]]| align="center" | <tex>O(\log{n})</tex>| align="center" | <tex>O(\log{n})</tex>| align="center" | <tex>O(m\log{n})</tex>| align="center" | Используя двоичную кучу можно выполнять операции извлечения минимума и обновления элемента за <tex>O(\log{n})</tex>. Тогда время работы алгоритма Дейкстры составит <tex>O(n\log{n} + m\log{n}) = O(m\log{n})</tex>. |-| align="center"|[[Фибоначчиевы кучи|Фибоначчиева куча]]|stylealign="center" | <tex>O(\log{n})</tex>| align="center" | <tex>O(1)</tex>| align="background:#f9f9f9center"|<tex>O(Vn\log{n} + m)</tex>| align="center" | Используя Фибоначчиевы кучи можно выполнять операции извлечения минимума за <tex>O(\log{n})</tex> и обновления элемента за <tex>O(1)</tex>. Таким образом, время работы алгоритма составит <tex>O(n\log{Vn}+Em)</tex>.
|}
На практике удобно использовать стандартные контейнеры (например, '''std::set''' или '''std::priority_queue''' в C++). <br>При реализации необходимо хранить вершины, которые упорядочены по величине <tex>d</tex>, для этого в контейнер можно помещать пару {{---}} расстояние-вершина. В результате будут храниться пары, упорядоченные по расстоянию. Изначально поместим в контейнер стартовую вершину <tex>s</tex>. Основной цикл будет выполняться, пока в контейнере есть хотя бы одна вершина. На каждой итерации извлекается вершина с наименьшим расстоянием <tex>d</tex> и выполняются релаксации по рёбрам из неё. При выполнении успешной релаксации нужно удалить из контейнера вершину, до которой обновляем расстояние, а затем добавить её же, но с новым расстоянием.<br>В обычных кучах нет операции удаления произвольного элемента. При релаксации можно не удалять старые пары, в результате чего в куче может находиться одновременно несколько пар расстояние-вершина для одной вершины (с разными расстояниями). Для корректной работы при извлечении из кучи будем проверять расстояние: пары, в которых расстояние отлично от <tex>d[v]</tex> будем игнорировать. При этом асимптотика будет <tex>O(m\log{m})</tex> вместо <tex>O(m\log{n})</tex>. == Источники информации ==* ''Кормен, Томас Х., ЛейзерсонКормен, Чарльз И., РивестЛейзерсон, Рональд Л.Ривест, Клиффорд Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', — 2-е издание. Пер. с англизд. — М.:Издательский дом "Вильямс"«Вильямс», 20102007. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ459. — ISBN 978-5-84598489-0857-5 (рус4* [http://e-maxx.)ru/algo/dijkstra MAXimal :: algo :: Нахождение кратчайших путей от заданной вершины до всех остальных вершин алгоритмом Дейкстры]* [httphttps://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_Дейкстры Википедия — свободная энциклопедияАлгоритм Дейкстры]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm Wikipedia — Dijkstra's algorithm]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах ]]
