Изменения

В ориентированном взвешанном графе {{Задача|definition=Для заданного взвешенного графа <tex>G = (V, E)</tex>, вес рёбер которого неотрицателен и определяется весовой функцией <tex>w(uv) \geqslant 0</tex>, Алгоритм Дейкстры находит длину кратчайшего найти кратчайшие пути из одной заданной вершины <tex>s</tex> до всех остальныхвершин. Веса всех рёбер неотрицательны.}}

В [[Ориентированный граф|ориентированном]] взвешенном [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графе]] <tex>G = (V, E)</tex>, вес [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|рёбер]] которого неотрицателен и определяется весовой функцией <tex>w : E \to \mathbb{R}</tex>, алгоритм Дейкстры находит длины кратчайших [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|путей]] из заданной [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|вершины]] <tex>s</tex> до всех остальных.<br>В алгоритме поддерживается множество вершин <tex>U</tex>, для которых уже вычислены кратчайшие пути к ним длины кратчайших путей до них из вершины <tex>s</tex>. На каждой итерации основного цикла выбирается вершина <tex> u \notin U</tex>, которой на текущий момент соответствует минимальная оценка кратчайшего пути. Вершина <tex>u</tex> добавляется в множество <tex>U</tex> и производится релаксация всех исходящих из неё рёбер.

'''func''' dijkstra(s)''':''' '''for''' <codetex>Для всехv \in V</codetex> d[v] = <tex>u \infty</tex> used[v] = ''false'' d[s] = 0 '''for''' <tex>i \in V</tex>: v = ''null'' '''for''' <tex>j \in V</tex> <font color="green">// найдём вершину с минимальным расстоянием</font> '''if''' !used[j] '''and''' (v == ''null'' '''or''' d[j] < d[v]) v = j '''if''' d[uv] \gets == <tex>\infty</tex> '''break''' used[v] = ''true'' '''for''' e : исходящие из ''v'' рёбра <texfont color="green">// произведём релаксацию по всем рёбрам, исходящим из ''v''</font> '''if''' d[sv] \gets 0\+ e.len </tex>d[e.to] d[e.to] = d[v] + e.len

== Обоснование корректности =={{Теорема|statement=Пусть <tex>G = (V, E)</tex> {{---}} ориентированный взвешенный граф, вес рёбер которого неотрицателен, <tex>s</tex> {{---}} стартовая вершина.Тогда после выполнения алгоритма Дейкстры <codetex>Покаd(u) = \rho(s, u)</codetex> для всех <tex>u</tex>, где <tex>\exists v rho(s, u)</tex> {{---}} длина кратчайшего пути из вершины <tex>s</tex> в вершину <tex>u</tex>|proof=Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины <tex>u</tex>, <tex>d(u) = \notin Urho(s, u)</tex>.* На первом шаге выбирается <tex>s</tex>, для неё выполнено: <codetex>d(s) = \rho(s, s) = 0</tex>* Пустьдля <tex>n</tex> первых шагов алгоритм сработал верно и на <tex>n + 1</codetex> шагу выбрана вершина <tex>u</tex>. Докажем, что в этот момент <tex>d(u) = \rho(s, u)</tex>. Для начала отметим, что для любой вершины <tex>v </tex>, всегда выполняется <tex>d(v) \geqslant \notin Urho(s, v)</tex> (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть <tex>P<code/tex> — вершина с минимальнымкратчайший путь из <tex>s</tex> в <tex>u</codetex> , <tex>d[v]</tex>: {{---}} первая непосещённая вершина на <codetex>Для всехP</codetex> , <tex>u \notin Uz</tex> {{---}} предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь <tex>P<code/tex>такихкратчайший, его часть, чтоведущая из <tex>s</tex> через <tex>z</tex> в <tex>v</codetex> , тоже кратчайшая, следовательно <tex>vu \in Erho(s, v) = \rho(s, z) + w(zv)</tex>:: . По предположению индукции, в момент посещения вершины <codetex>еслиz</codetex> выполнялось <tex> d[u] (z) = \rho(s, z)</tex>, следовательно, вершина <tex>v</tex> тогда получила метку не больше чем <tex> d[v] (z) + w(zv) = \rho(s, z) + w(vuzv) = \rho(s, v)</tex> , следовательно, <codetex>тоd(v) = \rho(s, v)</tex>. С другой стороны, поскольку сейчас мы выбрали вершину <tex>u</codetex>::: , её метка минимальна среди непосещённых, то есть <tex>d[(u] ) \gets leqslant d[(v] + w ) = \rho(s, v) \leqslant \rho(s, u)</tex>, где второе неравенсто верно из-за ранее упомянутого определения вершины <tex>v</tex> в качестве первой непосещённой вершины на <tex>P</tex>, то есть вес пути до промежуточной вершины не превосходит веса пути до конечной вершины вследствие неотрицательности весовой функции. Комбинируя это с <tex>d(u) \geqslant \rho(vus, u)</tex>: , имеем <tex>U d(u) = \gets v rho(s, u)</tex>, что и требовалось доказать.

== Обоснование корректности ==Пусть <tex>p(u*Поскольку алгоритм заканчивает работу, v)</tex> — длина кратчайшего пути из когда все вершины <tex>u</tex> в вершину <tex>v</tex>. Докажем по индукциипосещены, что в этот момент посещения любой вершины <tex>u</tex>, <tex>d(u)=p\rho(s,u)</tex>, где для всех <tex>su</tex> - стартовая вершина.}}

Основной цикл выполняется В реализации алгоритма присутствует функция выбора вершины с минимальным значением <tex>Vd</tex> рази релаксация по всем рёбрам для данной вершины. Релаксация выполниться всего Асимптотика работы зависит от реализации. Пусть <tex>En</tex> раз. В реализации алгоритма присутствует функция выбора вершины с минимальным значением {{---}} количество вершин в графе, <tex>dm</tex>, асимптотика её работы зависит от реализации{{---}} количество рёбер в графе.

Таким образом:{| borderclass="1wikitable" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align:center" width=30%!style="background:#f2f2f2"|Структура данных !style="background:#f2f2f2"|Время работы

! rowspan="2" |style! colspan="background:#f9f9f93"|Наивная реализацияВремя работы|style! rowspan="background:#f9f9f92"|<tex>O(V^2+E)</tex>Описание

|stylealign="background:#f9f9f9center"|Куча ФибоначчиНаивная реализация|stylealign="background:#f9f9f9center"|<tex>O(Vn)</tex>| align="center" | <tex>O(1)</tex>| align="center" | <tex>O(n^2 + m)</tex>| align="center" | <tex>n</tex> раз осуществляем поиск вершины с минимальной величиной <tex>d</tex> среди <tex>O(n)</tex> непомеченных вершин и <tex>m</tex> раз проводим релаксацию за <tex>O(1)</tex>. Для плотных графов (<tex>m \approx n^2</tex>) данная асимптотика является оптимальной.|-| align="center" | [[Двоичная куча]]| align="center" | <tex>O(\log{n})</tex>| align="center" | <tex>O(\log{n})</tex>| align="center" | <tex>O(m\log{n})</tex>| align="center" | Используя двоичную кучу можно выполнять операции извлечения минимума и обновления элемента за <tex>O(\log{n})</tex>. Тогда время работы алгоритма Дейкстры составит <tex>O(n\log{n} + m\log{n}) = O(m\log{n})</tex>. |-| align="center" | [[Фибоначчиевы кучи|Фибоначчиева куча]]| align="center" | <tex>O(\log{n})</tex>| align="center" | <tex>O(1)</tex>| align="center" | <tex>O(n\log{n} + m)</tex>| align="center" | Используя Фибоначчиевы кучи можно выполнять операции извлечения минимума за <tex>O(\log{n})</tex> и обновления элемента за <tex>O(1)</tex>. Таким образом, время работы алгоритма составит <tex>O(n\log{Vn}+Em)</tex>.

На практике удобно использовать стандартные контейнеры (например, '''std::set''' или '''std::priority_queue''' в C++). <br>При реализации необходимо хранить вершины, которые упорядочены по величине <tex>d</tex>, для этого в контейнер можно помещать пару {{---}} расстояние-вершина. В результате будут храниться пары, упорядоченные по расстоянию.  Изначально поместим в контейнер стартовую вершину <tex>s</tex>. Основной цикл будет выполняться, пока в контейнере есть хотя бы одна вершина. На каждой итерации извлекается вершина с наименьшим расстоянием <tex>d</tex> и выполняются релаксации по рёбрам из неё. При выполнении успешной релаксации нужно удалить из контейнера вершину, до которой обновляем расстояние, а затем добавить её же, но с новым расстоянием.<br>В обычных кучах нет операции удаления произвольного элемента. При релаксации можно не удалять старые пары, в результате чего в куче может находиться одновременно несколько пар расстояние-вершина для одной вершины (с разными расстояниями). Для корректной работы при извлечении из кучи будем проверять расстояние: пары, в которых расстояние отлично от <tex>d[v]</tex> будем игнорировать. При этом асимптотика будет <tex>O(m\log{m})</tex> вместо <tex>O(m\log{n})</tex>. == Источники информации ==* ''Кормен, Томас Х., ЛейзерсонКормен, Чарльз И., РивестЛейзерсон, Рональд Л.Ривест, Клиффорд Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', — 2-е издание. Пер. с англизд. — М.:Издательский дом "Вильямс"«Вильямс», 20102007. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ459. — ISBN 978-5-84598489-0857-5 (рус4* [http://e-maxx.)ru/algo/dijkstra MAXimal :: algo :: Нахождение кратчайших путей от заданной вершины до всех остальных вершин алгоритмом Дейкстры]* [httphttps://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_Дейкстры Википедия — свободная энциклопедияАлгоритм Дейкстры]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm Wikipedia — Dijkstra's algorithm]