Изменения

'''Алгоритм Джонсона''' (англ. ''Johnson's algorithm'') находит кратчайшие пути между всеми парами вершин взвешенного ориентированного графа во взвешенном ориентированном графе с положительными или отрицательными ребрамилюбыми весами ребер, но не имеющем отрицательных циклов.

Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин в течение времени <tex> O(V^2 * \log(V) + VE) </tex>. Для разреженных графов этот алгоритм ведет себя асиптотически асимптотически быстрее [[Алгоритм Флойда|алгоритма Флойда]]. Этот алгоритм либо возвращает матрицу кратчайших расстояний между всеми парами вершин, либо сообщение о том, что в графе существует цикл отрицательной длины.

В этом алгоритме используется метод '''изменения веса''' (англ. ''reweighting''). Суть его заключается в том, что для заданного графа <tex> G </tex> строится новая весовая функция <tex> \hat{omega_\omega} varphi </tex>, неотрицательная для всех ребер графа <tex> G </tex> и сохраняющая кратчайшие пути. Такая весовая функция строится при помощи с помощью так называемой '''[[Амортизационный_анализ#.D0.9C.D0.B5.D1.82.D0.BE.D0.B4_.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.B5.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.BE.D0.B2|потенциальной''' ]] функции.

{{Определение|definition=Пусть <tex> \varphi : V \rightarrow \mathbb R </tex> - — произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет <tex> \hat{omega_\omega}varphi(u, v) = \omega(u, v) + \varphi(u) - \varphi(v) </tex>.}}

Такая потенциальная функция строится при помощи добавлении добавлем фиктивной вершины <tex> s </tex> в <tex> G </tex> , из которой проведены ориентированные ребра нулевого веса во все остальные вершины графа, и запуском [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана ]] из нее(<tex> \varphi(v) </tex> будет равно длине кратчайшего пути из <tex> s </tex> в <tex> v </tex>). На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.

Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить [[Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры ]] из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.

Утверждается, что если какой-то путь <tex> P </tex> был кратчайшим относительно весовой функции <tex> \omega </tex>, то он будет кратчайшим и относительно новой весовой функции <tex> \hat{omega_\omega} varphi </tex>.

Пусть <tex>P,\; Q : </tex> {{---}} два пути <tex> a \rightsquigarrow b\;</tex> и <tex>w\omega(P) < w\omega(Q).</tex> Тогда <tex>\forall \varphi: \; w_\omega_\varphi(P) < w_\omega_\varphi(Q)</tex>

:Рассмотрим путь <tex>w_\varphi(P) = w_: \varphi(u_0u_1) + w_\varphi(u_1u_2) + ... + w_\varphi(u_{k-1}u_k) = \varphi(;u_0) + w(u_0u_1) - \varphi(rightarrow u_1) + ... + \varphi(u_{k-1}) + w(u_{k-1}u_k) - rightarrow u_2 \varphi(u_k) = rightarrow \varphi(u_0) + w(P) - ldots \varphi(rightarrow u_k)</tex>

:Его вес с новой весовой функцией равен <tex>w\omega_\varphi(P) < w= \omega_\varphi(u_0u_1) + \omega_\varphi(u_1u_2) + \ldots + \omega_\varphi(Qu_{k-1}u_k)</tex>.

:Вставим определение функции <tex>w_\omega_\varphi : \omega_\varphi(P) = \varphi(au_0) + \omega(u_0u_1) - \varphi(u_1) + \ldots + \varphi(u_{k-1}) + w\omega(Pu_{k-1}u_k) - \varphi(bu_k)</tex>

:Заметим, что потенциалы все промежуточных вершин в пути сократятся. <tex>w_\omega_\varphi(QP) = \varphi(au_0) + w\omega(QP) - \varphi(bu_k)</tex>

:По изначальному предположению: <tex>\omega(P) < \omega(Q)</tex>. С новой весовой функцией веса соответствующих путей будут:  :<tex>\omega_\varphi(P) = \varphi(a) + \omega(P) - \varphi(b)</tex> :<tex>\omega_\varphi(Q) = \varphi(a) + \omega(Q) - \varphi(b)</tex> :Отсюда, <tex>w_\omega_\varphi(P) < w_\omega_\varphi(Q)</tex>

 В графе <tex>G</tex> нет отрицательных циклов <tex>\Leftrightarrow</tex> существует потенциальная функция <tex> \phi:\; \forall uv \in E\; w_\omega_\varphi(uv) \ge geqslant 0 </tex> 

<tex>\Leftarrow </tex>:Рассмотрим произвольный <tex>w(C) = \varphi(u_1) + w(C) - \varphi(u_1) = w_\varphi(C) \ge 0</tex> — цикл в графе <tex>G</tex>

<tex>\Rightarrow </tex>: Добавим вершину <tex>s</tex> в графПо лемме, соединим её со всеми вершинами графа его вес равен <tex>G</tex> ребрами весом <tex>w \omega(C) = \omega_\varphi(C) + \varphi(u_0) - \varphi(u_0) = \omega_\varphi(C) \geqslant 0</tex>.

<tex>\Rightarrow </tex>:''Обозначение'' : Добавим фиктивную вершину <tex>s</tex>\delta(iв граф,а также ребра <tex> s \;j)to u </tex> - минимальное расстояние между вершинами весом <tex>i,\; j0 </tex> графа для всех <tex>Gu </tex>.

:Обозначим <tex>\phidelta(u,v) = </tex> как минимальное расстояние между вершинами <tex>u,\delta(s; v</tex>,введем потенциальную функцию <tex> \;u)phi </tex>

:<tex>w_\phi(uv) = \phi(u) + w(uv) - \phi(v) = \delta(s,\;u) + w(uv) - \delta(s,\;v)</tex>.

:Рассмотрим вес произвольного ребра <tex>uv \in E </tex>: <tex>\omega_\phi(uv) = \phi(u) + \omega(uv) - \phi(v) = \delta(s,\;u) + w\omega(uv) = </tex> {какой-то путь <tex>\delta(s \rightsquigarrow , v)</tex>}.

:Поскольку <tex>\delta(s,u) + \omega(uv) </tex> {{---}} вес какого-то пути <tex> s \rightsquigarrow v </tex>, а <tex> \;delta(s, v) =</tex> {минимальный путь {---}} вес кратчайшего пути <tex>s \rightsquigarrow v</tex>}, то <tex> \delta(s, u) + \omega(uv) \geqslant \delta(s, v) \Rightarrow \delta(s, u) + \omega(uv) - \delta(s, v) = \omega_\varphi(uv) \geqslant 0 </tex>.

Алгоритм Джонсона Предварительно построим граф Строится граф <tex>G' = (V',\;E')</tex>, где <tex>V' = V \cup \{s\}</tex>, для некоторой новой вершины <tex>s \not\in V</tex>, а <tex>E' = E \cup \{(s,\;v): \omega(s, v) = 0,\ v \in V\}</tex> '''function''' Johnson(G): '''int[][]''' '''if''' Bellman_FordBellmanFord<tex>(G',\;\omega,\;s)</tex> == FALSE''false'' print "Входной граф содержит цикл с отрицательным весом" '''thenreturn''' out <tex>\varnothing< «Входной граф содержит цикл с отрицательным весом»/tex> '''else''' '''for''' для каждой <tex>v \in V'</tex> '''do''' присвоить величине <tex>\varphi(v)</tex> значение = <tex>\delta(s,\;v)</tex><font color = green>// <tex>\delta(s, вычисленное \;v)</tex> вычислено алгоритмом Беллмана — Форда</font> '''for''' для каждого ребра <tex>(u,\;v) \in E'</tex> '''do''' <tex>w_\omega_\varphi(u,\;v) </tex> = <tex> \leftarrow womega(u,\;v) + \varphi(u) - \varphi(v)</tex> '''for''' для каждой вершины <tex>u \in V</tex> '''do''' вычисление с помощью алгоритма Дейкстры Dijkstra<tex>(G,\;w_\omega_\varphi,\;u)</tex> величин <tex>\delta_\varphi(u,\;v)</tex> для всех вершин <tex>v \in V</tex> '''for''' для каждой вершины <tex>v \in V</tex> '''do''' <tex>d_{uv} \leftarrow \delta_\varphi(u,\;v) + \varphi(v) - \varphi(u)</tex> '''return''' D<tex>d</tex>

Алгоритм Джонсона работает за <tex>O(VE + VD)</tex>, где <tex>O(D)</tex> - — время работы [[Алгоритм Дейкстры| алгоритма Дейкстры]]. Если в алгоритме Дейкстры неубывающая очередь с приоритетами реализована в виде [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%BA%D1%83%D1%87%D0%B0 [Фибоначчиевы кучи| фибоначчиевой кучи]], то время работы алгоритма Джонсона равно есть <tex>O(V^2\log V + V E)</tex>. В случае реализации очереди с приоритетами в виде двоичной кучи время работы равно <tex>O(V E \log V)</tex>.