Изменения

'''Алгоритм Касаи, Аримуры, Арикавы, Ли, Парка''' (Аримуры-Арикавы-Касаи-Ли-Паркаангл. ''Kasai, Arimura, Arikawa, Lee, Park algorithm'') {{--- }} алгоритм, позволяющий за линейное время вычислитьзначения длину наибольших общих префиксов (англ. ''longest common prefix'', ''LCP'') для всех соседних циклических сдвигов суффиксов строки, отсортированных в лексикографическомпорядке (largest common prefix, далее <tex>lcp</tex>).

Введём следующие обозначения:* <tex>S - </tex> {{---}} данная строка.* <tex>S_{i}</tex> {{---}} суффикс строки <tex>S</tex>, начинающийся в <tex>i</tex>-ом символе.* <tex>Suf</tex> {{---}} [[Суффиксный массив | суффиксный массив]].* <tex>Suf^{-1}</tex> {{---}} массив, обратный суффиксному, который может быть получен немедленно, если задан массив <tex>Suf</tex>. Если <tex>Suf[k] = i</tex>, то <tex>Suf^{-1}[i] = k</tex>.* <tex>LCP(S_{Suf[x]}, S_{Suf[z]})</tex> {{---}} длина наибольшего общего префикса строк <tex>S_{Suf[x]}</tex> и <tex>S_{Suf[z]}</tex>.* <tex>lcp[i]</tex> {{---}} длина наибольшего общего префикса соседних строк <tex>i-1</tex> и <tex>i</tex>, то есть <tex>lcp[i] = LCP(S_{Suf[i-1]}, S_{Suf[i]})</tex>.

==Некоторые свойства LCP=={{Утверждение|id = fact1|about= №1|statement=<tex>heightLCP(S_{Suf[iy - 1]}, S_{Suf[y]}) \geqslant LCP(S_{Suf[x]},S_{Suf[z]}), x < y \leqslant z</tex>|proof=<tex>LCP</tex> между двумя суффиксами {{---}} минимум <tex>LCP</tex> всех пар соседних суффиксов между ними в суффиксном массиве <tex>Suf</tex>. То есть <tex>LCP(S_{Suf[x]}, S_{Suf[z] }) = \min\limits_{x < y \leqslant z}LCP(S_{Suf[y - 1]},S_{Suf[y]})</tex> длина наибольшего общего префикса .Отсюда следует, что <tex>LCP</tex> пары соседних суффиксов в массиве <tex>Suf</tex> больше или равно <tex>LCP</tex> пары суффиксов, окружающих их.}}Также заметим, что <tex>LCP(S_{Suf[x]}, S_{Suf[z]}) = \min\limits_{i = x + 1 \ldots z}lcp[i]</tex>.{{Утверждение|id = fact2|about= №2|statement=Если <tex>LCP(S_{Suf[x-1]} , S_{Suf[x]}) > 1</tex> и , тогда <tex>iSuf^{-1}[Suf[x - 1] + 1] < Suf^{-1}[Suf[x] + 1]</tex> строк |proof=Рассмотрим пару суффиксов, соседних в суффиксном массиве <tex>Suf</tex>. Тогда если их значение <tex>LCP</tex> больше <tex>1</tex>, то можно удалить первый символ этих суффиксов и их лексикографический порядок относительно друг друга сохранится. То есть строка <tex>S_{Suf[x] + 1}</tex> будет идти следом за строкой <tex>S_{Suf[x-1] + 1}</tex> и останется лексикографически больше нее.}} {{Утверждение|id = fact3|about= №3|statement=Если <tex>LCP(S_{Suf[x-1]} , S_{Suf[x]} ) > 1</tex>, тогда <tex>sufLCP(S_{Suf[ix-1]+1} , S_{Suf[x]+1}) = LCP(S_{Suf[x-1]} , S_{Suf[x]} ) - 1</tex>|proof=В этом же случае, значение <tex>LCP</tex> между <tex>S_{Suf[x-1]+1}</tex> и <tex>sufS_{Suf[ix]+1}</tex> на один меньше значения <tex>LCP</tex> между <tex>S_{Suf[x-1]}</tex> и <tex>S_{Suf[x]}</tex> соответственно).}}

===Пример===[[Файл:kasai.png|400px|thumb|right|Пояснительная картинка к утверждениям 2 и 3]]Рассмотрим строку <tex>suf^S = aabaaca\$</tex>. Её суффиксный массив:{| class="wikitable"|-!<tex>i</tex>| <tex>0</tex> || <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex>|-!<tex>Suf[i]</tex>| <tex>7</tex> || <tex>6</tex> || <tex>0</tex> || <tex>3</tex> || <tex>1</tex> || <tex>4</tex> || <tex>2</tex> || <tex>5</tex>|}Распишем суффиксный массив по столбикам для удобного нахождения <tex>LCP</tex> :{| class="wikitable"|- обратный суффиксный !<tex>i</tex>| <tex>0</tex> || <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex>|-!<tex>Suf[i]</tex>| <tex>7</tex> || <tex>6</tex> || <tex>0</tex> || <tex>3</tex> || <tex>1</tex> || <tex>4</tex> || <tex>2</tex> || <tex>5</tex>|-!<tex>0</tex>| <tex>\$</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>b</tex> || <tex>c</tex>|-!<tex>1</tex>| || <tex>\$</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>b</tex> || <tex>c</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex>|-!<tex>2</tex>| || || <tex>b</tex> || <tex>c</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>\$</tex>|-!<tex>3</tex>| || || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>\$</tex> || <tex>c</tex> || |-!<tex>4</tex>| || || <tex>a</tex> || <tex>\$</tex> || <tex>c</tex> || || <tex>a</tex> || |-!<tex>5</tex>| || || <tex>c</tex> || || <tex>a</tex> || || <tex>\$</tex> || |-!<tex>6</tex>| || || <tex>a</tex> || || <tex>\$</tex> || || || |-!<tex>7</tex>| || || <tex>\$</tex> || || || || || |}Строим массив, удовлетворяющий свойству <tex>suf^LCP</tex>:{| class="wikitable"|-!<tex>i</tex>| <tex>0</tex> || <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex>|-!<tex>lcp[i]</tex>| <tex>\bot</tex> || <tex>0</tex> || <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1</tex> || <tex>0</tex> || <tex>0</tex>|}Например <tex>lcp[suf3] = 2</tex> {{---}} длина наибольшего общего префикса <tex>aa</tex> суффиксов <tex>S_{Suf[i2]} = aabaaca\$</tex> и <tex>S_{Suf[3] } = iaaca\$</tex>.Может быть построен одним линейным проходом по суффиксному массиву.===Вспомогательные утверждения===

Все массивы Теперь рассмотрим следующую задачу: рассчитать <tex>LCP</tex> между суффиксом <tex>S_{i}</tex> и строка имеют 0его соседним суффиксом в массиве <tex>Suf</tex>, при условии, что значение <tex>LCP</tex> между <tex>S_{i-индексацию1}</tex> и его соседним суффиксом известны. Для удобства записи пусть <tex>p=Suf^{-1}[i - 1]</tex> и <tex>q = Suf^{-1}[i]</tex>. Так же пусть <tex>j - 1 = Suf[p-1]</tex> и <tex>k = Suf[q - 1]</tex>. Проще говоря, мы хотим посчитать <tex>lcp[q]</tex>, когда задано <tex>lcp[p]</tex>.

{{Лемма|id ==Описание алгоритма=lemma|statement=Значения Если <tex>heightLCP(S_{j-1}, S_{i-1}) > 1</tex>, тогда <tex>LCP(S_k,S_i) \geqslant LCP(S_j,S_i)</tex> считаются для все суффиксов строки последовательно. Значение |proof=Так как <tex>height[suf^LCP(S_{j-1},S_{i-1}[) > 1]]</tex> считается наивным методом за линейное время. Покажем, как вычислить имеем <tex>heightSuf^{-1}[sufj] < Suf^{-1}[i]]</tex>, если значение из [[#fact2 | утверждения №2]]. Так как <tex>heightSuf^{-1}[sufj] \leqslant Suf^{-1}[k] = Suf^{-1}[i] -1]]</tex>, имеем <tex>LCP(S_{k} , S_{i}) \geqslant LCP(S_{j} , S_{i})</tex> из [[#fact1 | утверждения №1]].известно.}}

Если <tex>heightlcp[suf^p] = LCP(S_{j-1}[, S_{i-1]] }) > 01</tex>, то <tex>heightlcp[suf^q] = LCP(S_{-1k}[, S_{i]] }) \ge height[suf^{-1}geqslant lcp[i-1]p] - 1</tex>.Доказательство|proof=<tex>height[suf^{-1}[i-1]] = lcpLCP(S_{i-1k}, S_{suf[suf^{-1}[{i-1}]-1]})</tex>, <tex>height[suf^{-1}[i]] = lcp\geqslant LCP(S_{ij}, S_{suf[suf^{-1}[{i}]-1]})</tex>.Рассмотрим суффиксный массив и позиции в нем суффиксов <tex>i, i-1, suf(по [suf^{-1}[{i-1}-1#lemma | лемме]]</tex>:).так как <tex>i-1</tex> и <tex>i</tex> суффикс отличаются только первым символом, как и <tex>suf[suf^{-1}[{i-1}]-1]</tex> с <tex>suf[suf^{-1}[{i-1}]-1] + 1</tex>, то<tex>lcpLCP(i, suf[suf^S_{-1j}[, S_{i-1}]-1] + 1) \ge lcp= LCP(i-1, suf[suf^S_{j-1}[, S_{i-1}]-1]) - 1</tex>. Так как суффикс <tex>suf[suf^{-1}[{i-1}]-1]</tex> в суффиксном массиве предшествуетсуффиксу <tex>i-1</tex>, то суффикс <tex>suf[suf^{-1}[{i-1}]-1] + 1</tex> будет предшествовать суффиксу <tex>i</tex> (но необязательно будет непоредственно предыдущим), то <tex>height[suf^{-1}[i]] \ge lcp(i, sufпо [suf^{-1}[{i-1}#fact3 | утверждению №3]-1] + 1)</tex>. Значит, <tex>lcp(i, suf[suf^{-1}[{i-1}]-1] + 1) \ge lcpLCP(S_{i-1k}, S_{suf[suf^{-1}[{i-1}]-1]}) - 1</tex>,<tex>lcp\geqslant LCP(S_{ij-1}, S_{suf[suf^{-1}[{i-1}]-1]}) = height[suf^{-1}[i-1]]</tex>, откуда <tex>height[suf^{-1}[i]] \ge height[suf^{-1}[i-1]] - 1</tex>.

==ИсточникиАлгоритм==Представим алгоритм <tex>\mathrm{buildLCP}</tex> который вычисляет массив <tex>LCP</tex>, зная суффиксный массив. Исходя из выше написанной теоремы, нам не нужно сравнивать все символы, когда мы вычисляем <tex>LCP</tex> между суффиксом <tex>S_{i}</tex> и его соседним суффиксом в массиве <tex>Suf^{-1}</tex>. Чтобы вычислить <tex>LCP</tex> всех соседних суффиксов в массиве <tex>Suf^{-1}</tex> эффективно, будем рассматривать суффиксы по порядку начиная с <tex>S_1</tex> и заканчивая <tex>S_n</tex>. ===Псевдокод===Алгоритм принимает на вход строку длиной <tex>n</tex>, с добавленным специальным символом <tex>\$</tex> и суффиксный массив этой строки, и возвращает массив <tex>lcp</tex>. '''int[http]''' buildLCP(str: '''string''', suf:'''int[]''') '''int''' n <tex>=</tex> str.length '''int[len]''' lcp '''int[len]''' pos <font color=green> // pos[] {{---}} массив, обратный массиву suf </font> '''for''' i = 0 '''to''' n - 1 pos[suf[i]] <tex>=</tex> i '''int''' k <tex>=</tex> 0 '''for''' i = 0 '''to''' n - 1 '''if''' k > 0 k-- '''if''' pos[i] == n - 1 lcp[n - 1] <tex>=</tex> -1 k <tex>=</tex> 0 '''continue''' '''else''' '''int''' j <tex>=</tex> suf[pos[i] + 1] '''while''' max(i + k, j + k) < n '''and''' str[i + k] == str[j + k] k++ lcp[pos[i]] <tex>=</tex> k '''return''' lcp ===Асимптотика===Таким образом, начиная проверять <tex>LCP</tex> для текущего суффикса не с первого символа, а с указанного, можно за линейное время построить <tex>LCP</tex>. Покажем, что построение <tex>LCP</tex> таким образом действительно требует <tex>O(n)</rutex> времени.wikipediaДействительно, на каждой итерации текущее значение <tex>LCP</tex> может быть не болеечем на единицу меньше предыдущего.orgТаким образом, значения <tex>LCP</wikitex> в сумме могут увеличиться не более, чем на <tex>2n</%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9A%D0%B0%D1%81%D0%B0%D0%B8 Алгоритм Касаи]tex> (с точностью до константы).Следовательно, алгоритм построит <tex>LCP</tex> за <tex>O(n)<br/tex>. 2== См. также ==* [[Алгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки]] ==Источники информации==* [[wikipedia:ru:Алгоритм_Касаи | Википедия {{---}} Алгоритм Касаи]]* [http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.118.8221 T.Kasai, G.Lee, H.Arimura, S.Arikawa, K.Park - Linear-Time Longest-Common-Prefix Computation in Suffix Arrays and Its Application]. [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Суффиксный массив]]