Изменения

=='''Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта''' (англ. ''Knuth–Morris–Pratt algorithm'') — алгоритм [[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке#Постановка задачи==Дана цепочка <tex>S</tex> и образец <tex>T</tex>. Требуется найти все позиции, начиная с которых <tex>T</tex> входит |поиска подстроки в <tex>S</tex>строке]].

==Алгоритм решенияОписание алгоритма==Дана цепочка <tex>T</tex> и образец <tex>P</tex>. Требуется найти все позиции, начиная с которых <tex>P</tex> входит в <tex>T</tex>.<br>Построим строку <tex>S = P = T\#ST</tex>, где <tex>\#</tex> — любой символ, не входящий в алфавит <tex>SP</tex> и <tex>T</tex>. Посчитаем на ней значение [[Префикс-функция|префикс-функцию функции]] <tex> p </tex>. Благодаря разделительному символу <tex>\pi()#</tex>, выполняется <tex>\forall i: p[i] \leqslant |P|</tex>. Заметим, что по определению [[Префикс-функция|префикс-функции]] при <tex>i > |P|</tex> и <tex>p[i] = |P|</tex> подстроки длины <tex>P</tex>, начинающиеся с позиций <tex>0</tex> и <tex>i - |P| + 1</tex>, совпадают. Соберем все такие позиции <tex>i - |P| + 1</tex> строки <tex>S</tex>, вычтем из каждой позиции <tex>|P| + 1</tex>, это и будет ответ. Другими словами, если в какой-то позиции <tex>i</tex> выполняется условие <tex>p[i]=|P|</tex>, то в этой позиции начинается очередное вхождение образца в цепочку.

Пусть <tex>t '''int'''[] kmp('''string''' P, '''string''' T): '''int''' pl = P.length '''int''' tl = |T|</tex>, <tex>s = |S|</tex>.length <вычисление префикс '''int'''[] answer '''int'''[] p = [[Префикс-функции для цепочки функция#Эффективный_алгоритм|prefixFunction(P>+ "#" + T)]] '''int''' count = 0 '''for (''' i = 0 .. (s tl - 1)) { '''if (<tex>\pi</tex>(t ''' p[pl + i + 1) ] == t) {pl answer[count++] = i + 1 - t count = count + 1pl }'''return''' answer }==Корректность работы==Отметим, что из-за символа <tex>\$</tex> значение <tex>\pi(k) \leq t</tex> для всех <tex>k</tex>.По определению <tex>\pi()</tex>, если <tex>\pi(k) = t</tex>, то <tex>P[0..t - 1] = P[k - t + 1..k]</tex>, то есть <tex>T = S[k - t - t..k - t - 1]</tex>, то есть <tex>T</tex> входит в <tex>S</tex>, начиная с позиции <tex>k - t - t</tex>.Пусть теперь <tex>T</tex> входит в <tex>S</tex>, начиная с позиции <tex>i</tex>. Тогда <tex>S[i..i + t - 1] = T[0..t - 1]</tex>. Иными словами, <tex>P[0..t - 1] = P[t + 1 + i..t + i + t]</tex>, что эквивалентно <tex>\pi(t + i + t) = t</tex>.

Префикс-функция от строки <tex>O(s + t)S</tex> (время подсчета строится за <tex>\piO(S) = O(P + T)</tex> для . Проход цикла по строке <tex>PS</tex>) + содержит <tex>O(sT)</tex> (последующий итераций. Итого, время работы алгоритма оценивается как <tex>for</tex>) <tex>= O(s P + tT)</tex>. 

Предложенная реализация имеет оценку по памяти <tex>O(SP+T)</tex>. Оценки <tex>O(SP)</tex> можно добиться за счет незапоминания запоминания значений <tex>\pi()</tex> префикс-функции для позиций в <tex>PS</tex> , меньших <tex>t |P| + 1</tex> (то есть до начала цепочки <tex>ST</tex>).Это возможно, так как значение префикс-функции не может превысить длину образца, благодаря разделительному символу <tex>\#</tex>. ==Замечание==Вместо [[Префикс-функция|префикс-функции]] в алгоритме Кнута-Морриса-Пратта можно использовать [[Z-функция|Z-функцию]]. Оценки времени работы и памяти при этом не изменятся. ==См. также==*[[Алгоритм Ахо-Корасик|Алгоритм Ахо-Корасик]]*[[Алгоритм Бойера-Мура|Алгоритм Бойера-Мура]]*[[Алгоритм Колусси|Алгоритм Колусси]]*[[Префикс-функция|Префикс-функция]]*[[Z-функция|Z-функция]] ==Источники информации==*[[wikipedia:en:Knuth–Morris–Pratt algorithm | Wikipedia {{---}} Knuth–Morris–Pratt algorithm]]*[[wikipedia:ru:Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта | Википедия {{---}} Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта]]*Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн — Алгоритмы: построение и анализ / пер. с англ. — изд. 2-е — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — с.1036. — ISBN 978-5-8459-0857-5. [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Поиск подстроки в строке]][[Категория:Точный поиск]]