Алгоритм Кока-Янгера-Касами, модификация для произвольной грамматики — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 36: Строка 36:
 
== Оценка сложности ==
 
== Оценка сложности ==
 
Обозначим <tex>M = \max\limits_{A \rightarrow \alpha}\left|\alpha\right|</tex> — максимальную длину правой части правила.   
 
Обозначим <tex>M = \max\limits_{A \rightarrow \alpha}\left|\alpha\right|</tex> — максимальную длину правой части правила.   
 +
 +
Обработки правил вида <tex>A \rightarrow w[i]</tex> и <tex>A \rightarrow \varepsilon</tex> выполняются за <tex>O(n \cdot |\Gamma|)</tex>.
 +
 +
<tex>h\left[A \rightarrow \alpha, i, i, 0\right]</tex> за <tex>O(n \cdot |\Gamma|)</tex>. Проход по всем подстрокам выполняется за <tex>O(n^2)</tex>.
  
 
Расчёт вспомогательной динамики занимает <tex>O \left( n^3 \cdot |\Gamma| \cdot M \right)</tex> времени, основной динамики — <tex>O \left( n^2 \cdot |\Gamma| \right)</tex>. Итоговая временная сложность алгоритма равна <tex>O \left( n^3 \cdot |\Gamma| \cdot M \right)</tex>. Алгоритму требуется <tex>O(n^2 \cdot |\Gamma| \cdot M)</tex> памяти.
 
Расчёт вспомогательной динамики занимает <tex>O \left( n^3 \cdot |\Gamma| \cdot M \right)</tex> времени, основной динамики — <tex>O \left( n^2 \cdot |\Gamma| \right)</tex>. Итоговая временная сложность алгоритма равна <tex>O \left( n^3 \cdot |\Gamma| \cdot M \right)</tex>. Алгоритму требуется <tex>O(n^2 \cdot |\Gamma| \cdot M)</tex> памяти.

Версия 21:58, 17 января 2017

Задача:
Пусть дана контекстно-свободная грамматика [math]\Gamma[/math] и слово [math]w \in \Sigma^{*}[/math]. Требуется выяснить, выводится ли это слово в данной грамматике.


Базовая версия данного алгоритма работает только для грамматик в нормальной форме Хомского. Модифицируем алгоритм для работы на произвольных контекстно-свободных грамматиках.

Алгоритм для произвольной грамматики

Будем решать задачу динамическим программированием. Введём динамику [math]a\left[A,i,j\right] = \left[A \Rightarrow^{*} w[i..j-1]\right][/math], аналогично базовой версии алгоритма.

Также введём вспомогательный четырехмерный массив [math]h\left[A \rightarrow \alpha, i, j, k\right] = true[/math] тогда и только тогда, когда из префикса длины [math]k[/math] правой части данного правила можно вывести [math]w\left[i..j-1\right][/math].

Рассмотрим все тройки [math]\lbrace \langle j, i \rangle \mid j-i=m \rbrace[/math], где [math]m[/math] — константа и [math]m \lt n[/math], и [math]k[/math] такое, что [math]k \lt \left|\alpha\right|[/math].

  • База динамики:
[math]a\left[A, i, i+1\right] = true[/math], если в грамматике [math]\Gamma[/math] присутствует правило [math]A \rightarrow w[i][/math], иначе [math]a\left[A, i, i+1\right] = false[/math];
[math]a\left[A, i, i\right] = true[/math], если в грамматике [math]\Gamma[/math] присутствует правило [math]A \rightarrow \varepsilon[/math], иначе [math]a\left[A, i, i\right] = false[/math];
[math]h\left[A \rightarrow \alpha, i, i, 0\right] = true[/math].
  • Переход:
Пусть значения для всех нетерминалов, пар [math]\lbrace \langle j', i' \rangle \mid j' - i' \lt m \rbrace[/math] и [math]\lbrace k' \mid k' \lt k \rbrace[/math] уже вычислены, поэтому вспомогательная динамика: [math] h\left[A \rightarrow \alpha, i, j+1, k\right] = \bigvee\limits_{r=i..j+1}\left(h\left[A \rightarrow \alpha, i, r, k-1\right] \wedge a\left[\alpha\left[k\right],r,j+1\right]\right)[/math]. То есть, подстроку [math]w[i..j][/math] можно вывести из префикса длины [math]k[/math] правой части данного правила, если из префикса длины [math]k-1[/math] правой части данного правила можно вывести [math]w\left[i..r-1\right][/math], а подстрока [math]w[r..j][/math] выводится из [math]k[/math]-го символа правой части правила. Это вычисление может обратится к [math]a\left[A,i,j+1\right][/math], но на результат это не повлияет, так как в данный момент [math]a\left[A,i,j+1\right]=false[/math].
Но если [math]\alpha\left[k\right][/math] — терминал, то подстроку [math]w[i..j][/math] можно вывести из префикса длины [math]k[/math] правой части данного правила, если из префикса длины [math]k-1[/math] правой части данного правила можно вывести [math]w\left[i..r-1\right][/math], а подстрока [math]w[r..j][/math] выводится, если [math]w\left[r..j\right]=\alpha\left[k\right][/math].
Базовая динамика выражается так: [math]a\left[A,i,j\right]=\bigvee\limits_{A \rightarrow \alpha}h\left[A \rightarrow \alpha, i, j, \left|\alpha\right|\right][/math]. То есть, подстроку [math]w[i..j-1][/math] можно вывести из нетерминала [math]A[/math], если из длины правой части данного правила можно вывести [math]w\left[i..j-1\right][/math],
  • Завершение:
После окончания работы ответ содержится в ячейке [math]a\left[S, 1, n\right][/math], где [math]n = |w|[/math].

Оценка сложности

Обозначим [math]M = \max\limits_{A \rightarrow \alpha}\left|\alpha\right|[/math] — максимальную длину правой части правила.

Обработки правил вида [math]A \rightarrow w[i][/math] и [math]A \rightarrow \varepsilon[/math] выполняются за [math]O(n \cdot |\Gamma|)[/math].

[math]h\left[A \rightarrow \alpha, i, i, 0\right][/math] за [math]O(n \cdot |\Gamma|)[/math]. Проход по всем подстрокам выполняется за [math]O(n^2)[/math].

Расчёт вспомогательной динамики занимает [math]O \left( n^3 \cdot |\Gamma| \cdot M \right)[/math] времени, основной динамики — [math]O \left( n^2 \cdot |\Gamma| \right)[/math]. Итоговая временная сложность алгоритма равна [math]O \left( n^3 \cdot |\Gamma| \cdot M \right)[/math]. Алгоритму требуется [math]O(n^2 \cdot |\Gamma| \cdot M)[/math] памяти.

См. также