Алгоритм Кока-Янгера-Касами разбора грамматики в НФХ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Пример работы)
м (Контекстно-свободная грамматика: тире)
 
(не показано 15 промежуточных версий 3 участников)
Строка 3: Строка 3:
 
Пусть дана [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]] <tex>\Gamma</tex> в [[нормальная форма Хомского|нормальной форме Хомского]] и слово <tex>w \in \Sigma^{*}</tex>. Требуется выяснить, выводится ли это слово в данной грамматике.
 
Пусть дана [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]] <tex>\Gamma</tex> в [[нормальная форма Хомского|нормальной форме Хомского]] и слово <tex>w \in \Sigma^{*}</tex>. Требуется выяснить, выводится ли это слово в данной грамматике.
 
}}
 
}}
 +
 +
== Контекстно-свободная грамматика ==
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''[[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|Контекстно-свободная грамматика]]''' ('''КС-грамматика''', '''бесконтекстная грамматика''') {{---}} способ описания формального языка, представляющий собой четверку
 +
<tex>\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset N^{+}\times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle</tex>, где:
 +
* <tex>\Sigma</tex> {{---}} [[Основные_определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов|алфавит]], элементы которого называют '''терминалами''' (англ. ''terminals'')
 +
* <tex>N</tex> {{---}} множество, элементы которого называют '''нетерминалами''' (англ. ''nonterminals'')
 +
* <tex>S</tex> {{---}} начальный символ грамматики (англ. ''start symbol'')
 +
* <tex>P</tex> {{---}} набор правил вывода (англ. ''production rules'' или ''productions'') вида <tex>A \rightarrow B_1 B_2 \ldots B_n</tex>, где <tex>A \in N</tex>, <tex>B_i \in \Sigma \cup N</tex>, то есть у которых левые части {{---}} одиночные нетерминалы, а правые {{---}} последовательности терминалов и нетерминалов.
 +
}}
 +
=== Пример ===
 +
 +
Терминалы <tex>\Sigma = \{(, )\}</tex>.
 +
 +
Нетерминалы <tex>N = \{S\}</tex>.
 +
 +
Правила вывода <tex>P</tex>:
 +
 +
<tex>\begin{array}{l l} 
 +
S \rightarrow \varepsilon\\
 +
S \rightarrow SS\\
 +
S \rightarrow (S)\\
 +
\end{array}</tex>
 +
 +
Данная грамматика задает язык [[Правильные_скобочные_последовательности|правильных скобочных последовательностей]]. Например, последовательность <tex>(()(()))</tex> может быть выведена следующим образом:
 +
 +
<tex> S \Rightarrow (S) \Rightarrow (SS) \Rightarrow (()(S)) \Rightarrow (()(())) </tex>
 +
 +
== Нормальная форма Хомского ==
 +
 +
'''[[Нормальная форма Хомского]]''' {{---}} нормальная форма КС-грамматик, в которой все продукции имеют вид:
 +
* <tex>A \rightarrow a</tex>, где <tex>A</tex> {{---}} нетерминал, а <tex>a</tex> {{---}} терминал
 +
* <tex>A \rightarrow BC</tex>, где <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> {{---}} нетерминалы, причем <tex>B</tex> и <tex>C</tex> не являются начальными нетерминалами
 +
* <tex>S \rightarrow \varepsilon</tex>, где <tex>S</tex> {{---}} начальный нетерминал и <tex>\varepsilon</tex> {{---}} пустая строка (данная продукция необходима, если в языке присуствует пустая строка)
 +
 +
[[Нормальная форма Хомского|Можно показать]], что любую КС-грамматику можно привести к нормальной форме Хомского.
  
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
'''Алгоритм Кока-Янгера-Касами''' (англ. ''Cocke-Younger-Kasami algorithm'', англ. ''CYK - алгоритм'') {{---}} универсальный алгоритм, позволяющий по слову узнать, выводимо ли оно в заданной КС-грамматике в нормальной форме Хомского.
+
'''Алгоритм Кока-Янгера-Касами''' (англ. ''Cocke-Younger-Kasami algorithm'', англ. ''CYK-алгоритм'') {{---}} алгоритм, позволяющий по слову узнать, выводимо ли оно в заданной КС-грамматике в нормальной форме Хомского. Любую КС-грамматику можно привести к НФХ, поэтому алгоритм является универсальным для любой КС-грамматики.
Будем решать задачу [[Динамическое_программирование|динамическим программированием]]. Дана строка <tex>w</tex> размером <tex>n</tex>. Заведем для неё трехмерный массив <tex>d</tex> размером <tex>|\Gamma| \times n \times n</tex>, состоящий из логических значений, и <tex>d[A][i][j] = true</tex> тогда и только тогда, когда из нетерминала <tex>A</tex> правилами грамматики можно вывести подстроку <tex>w[i \dots j]</tex>.
+
 
 +
Будем решать задачу [[Динамическое_программирование|динамическим программированием]]. Дана строка <tex>w</tex> размером <tex>n</tex>. Заведем для неё трехмерный массив <tex>d</tex> размером <tex>|N| \times n \times n</tex>, состоящий из логических значений, и <tex>d[A][i][j] = true \ </tex> тогда и только тогда, когда из нетерминала <tex>A</tex> правилами грамматики можно вывести подстроку <tex>w[i \ldots j]</tex>.
  
 
Рассмотрим все пары <tex>\lbrace \langle j, i \rangle | j-i=m \rbrace</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} константа и <tex>m < n</tex>.
 
Рассмотрим все пары <tex>\lbrace \langle j, i \rangle | j-i=m \rbrace</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} константа и <tex>m < n</tex>.
  
* <tex>i = j</tex>. Инициализируем массив для всех нетерминалов, из которых выводится какой-либо символ строки <tex>w</tex>. В таком случае <tex>d[A][i][i] = true</tex>, если в грамматике <tex>\Gamma</tex> присутствует правило <tex>A \rightarrow w[i]</tex>. Иначе <tex>d[A][i][i] = false</tex>.
+
* <tex>i = j</tex>. Инициализируем массив для всех нетерминалов, из которых выводится какой-либо символ строки <tex>w</tex>. В таком случае <tex>d[A][i][i] = true \ </tex>, если в грамматике <tex>\Gamma</tex> присутствует правило <tex>A \rightarrow w[i]</tex>. Иначе <tex>d[A][i][i] = false</tex>.
  
* <tex>i \ne j</tex>. Значения для всех нетерминалов и пар <tex>\lbrace \langle j', i' \rangle | j' - i' < m \rbrace</tex> уже вычислены, поэтому <tex>d[A][i][j] = \bigvee\limits_{A \rightarrow BC}\bigvee\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \wedge d[C][k+1][j]</tex>. То есть, подстроку <tex>w[i \dots j]</tex> можно вывести из нетерминала <tex>A</tex>, если существует продукция вида <tex>A \rightarrow BC</tex> и такое <tex>k</tex>, что подстрока <tex>w[i \dots k]</tex> выводима из <tex>B</tex>, а подстрока <tex>w[k + 1 \dots j]</tex> выводится из <tex>C</tex>.
+
* <tex>i \ne j</tex>. Значения для всех нетерминалов и пар <tex>\lbrace \langle j', i' \rangle | j' - i' < m \rbrace</tex> уже вычислены, поэтому <tex>d[A][i][j] = \bigvee\limits_{A \rightarrow BC}\bigvee\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \wedge d[C][k+1][j] \ \ </tex>. То есть, подстроку <tex>w[i \ldots j]</tex> можно вывести из нетерминала <tex>A</tex>, если существует продукция вида <tex>A \rightarrow BC</tex> и такое <tex>k</tex>, что подстрока <tex>w[i \ldots k]</tex> выводима из <tex>B</tex>, а подстрока <tex>w[k + 1 \ldots j]</tex> выводится из <tex>C</tex>.
 
[[Файл:CYK_rule_2.jpg|400px]]
 
[[Файл:CYK_rule_2.jpg|400px]]
  
Строка 20: Строка 58:
  
 
=== Количество способов вывести слово ===
 
=== Количество способов вывести слово ===
Если массив будет хранить целые числа, а формулу заменить на <tex>d[A][i][j] = \sum\limits_{A \rightarrow BC}\sum\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \cdot d[C][k + 1][j]</tex>, то <tex>d[A][i][j]</tex> {{---}} количество способов получить подстроку <tex>w[i \dots j]</tex> из нетерминала <tex>A</tex>.
+
Если массив будет хранить целые числа, а формулу заменить на <tex>d[A][i][j] = \sum\limits_{A \rightarrow BC}\sum\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \cdot d[C][k + 1][j] \ \ </tex>, то <tex>d[A][i][j]</tex> {{---}} количество способов получить подстроку <tex>w[i \ldots j]</tex> из нетерминала <tex>A</tex>.
  
 
=== Минимальная стоимость вывода слова ===
 
=== Минимальная стоимость вывода слова ===
Пусть <tex>P(A \rightarrow BC)</tex> {{---}} стоимость вывода по правилу <tex>A \rightarrow BC</tex>. Тогда, если использовать формулу <tex>d[A][i][j] = \min\limits_{A \rightarrow BC} \min\limits_{k = i}^{j-1}  ( d[B][i][k] + d[C][k + 1][j] + P(A \rightarrow BC) )</tex>, то <tex>d[A][i][j]</tex> {{---}} минимальная стоимость вывода подстроки <tex>w[i \dots j]</tex> из нетерминала <tex>A</tex>.
+
Пусть <tex>H(A \rightarrow BC)</tex> {{---}} стоимость вывода по правилу <tex>A \rightarrow BC</tex>. Тогда, если использовать формулу <tex>d[A][i][j] = \min\limits_{A \rightarrow BC} \min\limits_{k = i}^{j-1}  ( d[B][i][k] + d[C][k + 1][j] + H(A \rightarrow BC) ) \ \ </tex>, то <tex>d[A][i][j]</tex> {{---}} минимальная стоимость вывода подстроки <tex>w[i \ldots j]</tex> из нетерминала <tex>A</tex>.
  
Таким образом, задача о выводе в КС-грамматике в нормальной форме Хомского является обобщением задачи динамического программирования на подотрезке.
+
Таким образом, задача о выводе в КС-грамматике в нормальной форме Хомского является частным случаем задачи динамического программирования на подотрезке.
  
 
== Асимптотика ==
 
== Асимптотика ==
Обработка правил вида <tex>A \rightarrow w[i]</tex> в шаге 1 выполняется за <tex>O(n \cdot |\Gamma|)</tex>.
+
Обработка правил вида <tex>A \rightarrow w[i]</tex> выполняется за <tex>O(n \cdot |\Gamma|)</tex>.
  
Проход по всем подстрокам в шаге 2 выполняется за <tex>O(n^2)</tex>. В обработке одной подстроки присутствует цикл по всем правилам вывода и по всем разбиениям на две подстроки, следовательно обработка работает за <tex>O(n \cdot |\Gamma|)</tex>. В итоге получаем конечную сложность <tex>O(n^3 \cdot |\Gamma|)</tex>.
+
Проход по всем подстрокам выполняется за <tex>O(n^2)</tex>. В обработке одной подстроки присутствует цикл по всем правилам вывода и по всем разбиениям на две подстроки, следовательно обработка работает за <tex>O(n \cdot |\Gamma|)</tex>. В итоге получаем конечную сложность <tex>O(n^3 \cdot |\Gamma|)</tex>.
  
Следовательно, общее время работы алгоритма {{---}} <tex>O(n^3 \cdot |\Gamma|)</tex>. Кроме того, алгоритму требуется память (на массив <tex>d</tex>) объемом <tex>O(n^2 \cdot |N|)</tex>, где <tex>|N|</tex> {{---}}  количество [[Формальные_грамматики#Определения|нетерминалов]] грамматики.
+
Следовательно, общее время работы алгоритма {{---}} <tex>O(n^3 \cdot |\Gamma|)</tex>. Кроме того, алгоритму требуется память на массив <tex>d</tex> объемом <tex>O(n^2 \cdot |N|)</tex>, где <tex>|N|</tex> {{---}}  количество [[Формальные_грамматики#Определения|нетерминалов]] грамматики.
  
 
== Пример работы ==
 
== Пример работы ==
Дана грамматика [[Правильные_скобочные_последовательности|правильных скобочных последовательностей]] <tex>\Gamma</tex>:
+
Дана грамматика [[Правильные_скобочные_последовательности|правильных скобочных последовательностей]] <tex>\Gamma</tex> в нормальной форме Хомского.
  
 
<tex>\begin{array}{l l}   
 
<tex>\begin{array}{l l}   
    A \rightarrow \varepsilon|BC\\
+
A \rightarrow \varepsilon\ |\ BB\ |\ CD\\
    D \rightarrow BC\\
+
B \rightarrow BB\ |\ CD\\
    B \rightarrow (\\
+
C \rightarrow (\\
    C \rightarrow )|DE\\
+
D \rightarrow BE\ |\ )\\
    E \rightarrow )\\
+
E \rightarrow )\\
 
\end{array}</tex>
 
\end{array}</tex>
  
Дано слово <tex>w = $()(())$</tex>.
+
Дано слово <tex>w = ()(())</tex>.
  
{| clear="both" |}
 
  
 
Инициализация массива <tex>d</tex>.
 
Инициализация массива <tex>d</tex>.
 
  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|A
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 70: Строка 106:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 79: Строка 114:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 88: Строка 122:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 97: Строка 130:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 106: Строка 138:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 115: Строка 146:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|B
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 129: Строка 159:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 135: Строка 164:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 144: Строка 173:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 159: Строка 186:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 171: Строка 197:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 180: Строка 205:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|C
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 194: Строка 218:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 199: Строка 224:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 224: Строка 245:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 234: Строка 254:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 244: Строка 263:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
+
|  
 
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|D
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 265: Строка 283:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 283: Строка 299:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 292: Строка 307:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 299: Строка 313:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 309: Строка 322:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|  
+
| align="center"| ●
 
 
 
|}
 
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; "  
+
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|E
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 330: Строка 342:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 339: Строка 350:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 348: Строка 358:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 357: Строка 366:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 366: Строка 374:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 375: Строка 382:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
 
|}
 
|}
{| clear="both" |}
+
<div style="clear:both;"></div>
{| clear="both" |}
 
  
 
Заполнение массива <tex>d</tex>.
 
Заполнение массива <tex>d</tex>.
  
{| clear="both" |}
 
 
Итерация m = <tex>1</tex>.
 
  
 +
Итерация <tex>m = 1</tex>.
  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|A
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 405: Строка 408:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 414: Строка 416:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 423: Строка 424:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 432: Строка 432:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 441: Строка 440:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 450: Строка 448:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|B
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 464: Строка 461:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
|
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
Строка 469: Строка 467:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 479: Строка 475:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
 +
|
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 496: Строка 491:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 506: Строка 499:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 515: Строка 507:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|C
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 529: Строка 520:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 534: Строка 526:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 559: Строка 547:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 569: Строка 556:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 579: Строка 565:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
+
|  
 
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|D
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 595: Строка 580:
 
! 1
 
! 1
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 618: Строка 601:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 625: Строка 607:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 634: Строка 615:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 644: Строка 624:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|  
+
| align="center"| ●
 
 
 
|}
 
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; "  
+
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|E
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 665: Строка 644:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 674: Строка 652:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 683: Строка 660:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 692: Строка 668:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 701: Строка 676:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 710: Строка 684:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
 
|}
 
|}
{| clear="both" |}
+
<div style="clear:both;"></div>
 
 
Итерация m = <tex>2</tex>.
 
  
 +
Итерация <tex>m = 2</tex>.
  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|A
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 735: Строка 707:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 744: Строка 715:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 753: Строка 723:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 762: Строка 731:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 771: Строка 739:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 780: Строка 747:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|B
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 794: Строка 760:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
|
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
Строка 799: Строка 766:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 809: Строка 774:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
 +
|
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 826: Строка 790:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 836: Строка 798:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 845: Строка 806:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|C
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 859: Строка 819:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 864: Строка 825:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 889: Строка 846:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 899: Строка 855:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 909: Строка 864:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
+
|  
 
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|D
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 925: Строка 879:
 
! 1
 
! 1
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 948: Строка 900:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
 +
|
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 956: Строка 908:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 964: Строка 914:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 974: Строка 923:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|  
+
| align="center"| ●
 
 
 
|}
 
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; "  
+
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|E
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 995: Строка 943:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 1004: Строка 951:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 1013: Строка 959:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 1022: Строка 967:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1031: Строка 975:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1040: Строка 983:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
 
|}
 
|}
{| clear="both" |}
+
<div style="clear:both;"></div>
 
 
Итерация m = <tex>3</tex>.
 
  
 +
Итерация <tex>m = 3</tex>.
  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|A
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1065: Строка 1006:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 1074: Строка 1014:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 1083: Строка 1022:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 1092: Строка 1030:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1101: Строка 1038:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1110: Строка 1046:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|B
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1124: Строка 1059:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
|
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
Строка 1129: Строка 1065:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 1139: Строка 1073:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
| align="center"| ●
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
 +
|
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 1156: Строка 1089:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1166: Строка 1097:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1175: Строка 1105:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|C
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1189: Строка 1118:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 1194: Строка 1124:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 1219: Строка 1145:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1229: Строка 1154:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1239: Строка 1163:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
+
|  
 
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|D
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1255: Строка 1178:
 
! 1
 
! 1
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 1277: Строка 1198:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
+
|  
 
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
 +
|
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 1286: Строка 1207:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1294: Строка 1213:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1304: Строка 1222:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|  
+
| align="center"| ●
 
 
 
|}
 
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; "  
+
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|E
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1325: Строка 1242:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 1334: Строка 1250:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 1343: Строка 1258:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 1352: Строка 1266:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1361: Строка 1274:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1370: Строка 1282:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
 
|}
 
|}
{| clear="both" |}
+
<div style="clear:both;"></div>
 
 
Итерация m = <tex>4</tex>.
 
  
 +
Итерация <tex>m = 4</tex>.
  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|A
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1395: Строка 1305:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 1404: Строка 1313:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 1413: Строка 1321:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 1422: Строка 1329:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1431: Строка 1337:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1440: Строка 1345:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|B
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1454: Строка 1358:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
|
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
Строка 1459: Строка 1364:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 1469: Строка 1372:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
| align="center"| ●
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
 +
|
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 1486: Строка 1388:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1496: Строка 1396:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1505: Строка 1404:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|C
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1519: Строка 1417:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 1524: Строка 1423:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 1549: Строка 1444:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1559: Строка 1453:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1569: Строка 1462:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
+
|  
 
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|D
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1585: Строка 1477:
 
! 1
 
! 1
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 1607: Строка 1497:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
+
|  
 
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
 +
|
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 1616: Строка 1506:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1624: Строка 1512:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1634: Строка 1521:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|  
+
| align="center"| ●
 
 
 
|}
 
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; "  
+
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|E
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1655: Строка 1541:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 1664: Строка 1549:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 1673: Строка 1557:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 1682: Строка 1565:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1691: Строка 1573:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1700: Строка 1581:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
 
|}
 
|}
{| clear="both" |}
+
<div style="clear:both;"></div>
 
 
Итерация m = <tex>5</tex>.
 
  
 +
Итерация <tex>m = 5</tex>.
  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|A
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1724: Строка 1603:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|  
+
| align="center"| ●
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 1734: Строка 1612:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 1743: Строка 1620:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 1752: Строка 1628:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1761: Строка 1636:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1770: Строка 1644:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|B
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1784: Строка 1657:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
|
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|  
+
| align="center"|
|  
 
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 1799: Строка 1671:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
| align="center"| ●
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
 +
|
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 1816: Строка 1687:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1826: Строка 1695:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1835: Строка 1703:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|C
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1849: Строка 1716:
 
|-
 
|-
 
! 1
 
! 1
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 1854: Строка 1722:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 1879: Строка 1743:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1889: Строка 1752:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1899: Строка 1761:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
+
|  
 
 
 
|}
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|D
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1915: Строка 1776:
 
! 1
 
! 1
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
 
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
+
|
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 1937: Строка 1796:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
| align="center"| ●
+
|  
 
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
 +
|
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
Строка 1946: Строка 1805:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 1954: Строка 1811:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 +
| align="center"| ●
 
|  
 
|  
|
 
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 1964: Строка 1820:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
|  
+
| align="center"| ●
 
 
 
|}
 
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; "  
+
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"  
! colspan="7"|E
+
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 
|-
 
|-
 
!  
 
!  
Строка 1985: Строка 1840:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 2
 
! 2
Строка 1994: Строка 1848:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 3
 
! 3
Строка 2003: Строка 1856:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 4
 
! 4
Строка 2012: Строка 1864:
 
|  
 
|  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 5
 
! 5
Строка 2021: Строка 1872:
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|  
 
|  
 
 
|-
 
|-
 
! 6
 
! 6
Строка 2030: Строка 1880:
 
|  
 
|  
 
| align="center"| ●  
 
| align="center"| ●  
 
|}
 
{| clear="both" |}
 
 
Итерация m = <tex>6</tex>.
 
 
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 
! colspan="7"|A
 
|-
 
!
 
! 1
 
! 2
 
! 3
 
! 4
 
! 5
 
! 6
 
|-
 
! 1
 
|
 
| align="center"| ●
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 2
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 3
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
 
|-
 
! 4
 
|
 
|
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
|
 
 
|-
 
! 5
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 6
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 
! colspan="7"|B
 
|-
 
!
 
! 1
 
! 2
 
! 3
 
! 4
 
! 5
 
! 6
 
|-
 
! 1
 
| align="center"| ●
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 2
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 3
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 4
 
|
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 5
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 6
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 
! colspan="7"|C
 
|-
 
!
 
! 1
 
! 2
 
! 3
 
! 4
 
! 5
 
! 6
 
|-
 
! 1
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 2
 
|
 
| align="center"| ●
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 3
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 4
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
 
|-
 
! 5
 
|
 
|
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
|
 
 
|-
 
! 6
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 
! colspan="7"|D
 
|-
 
!
 
! 1
 
! 2
 
! 3
 
! 4
 
! 5
 
! 6
 
|-
 
! 1
 
|
 
| align="center"| ●
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 2
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 3
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
 
|-
 
! 4
 
|
 
|
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
|
 
 
|-
 
! 5
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 6
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|}
 
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; "
 
! colspan="7"|E
 
|-
 
!
 
! 1
 
! 2
 
! 3
 
! 4
 
! 5
 
! 6
 
|-
 
! 1
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 2
 
|
 
| align="center"| ●
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 3
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 4
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
 
|-
 
! 5
 
|
 
|
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
|
 
 
|-
 
! 6
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
| align="center"| ●
 
 
 
|}
 
|}
{| clear="both" |}
+
<div style="clear:both;"></div>
  
 
== См. также ==  
 
== См. также ==  
Строка 2376: Строка 1895:
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
 +
[[Категория: Алгоритмы разбора]]

Текущая версия на 22:51, 23 мая 2019

Задача:
Пусть дана контекстно-свободная грамматика [math]\Gamma[/math] в нормальной форме Хомского и слово [math]w \in \Sigma^{*}[/math]. Требуется выяснить, выводится ли это слово в данной грамматике.


Контекстно-свободная грамматика[править]

Определение:
Контекстно-свободная грамматика (КС-грамматика, бесконтекстная грамматика) — способ описания формального языка, представляющий собой четверку

[math]\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset N^{+}\times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle[/math], где:

  • [math]\Sigma[/math]алфавит, элементы которого называют терминалами (англ. terminals)
  • [math]N[/math] — множество, элементы которого называют нетерминалами (англ. nonterminals)
  • [math]S[/math] — начальный символ грамматики (англ. start symbol)
  • [math]P[/math] — набор правил вывода (англ. production rules или productions) вида [math]A \rightarrow B_1 B_2 \ldots B_n[/math], где [math]A \in N[/math], [math]B_i \in \Sigma \cup N[/math], то есть у которых левые части — одиночные нетерминалы, а правые — последовательности терминалов и нетерминалов.

Пример[править]

Терминалы [math]\Sigma = \{(, )\}[/math].

Нетерминалы [math]N = \{S\}[/math].

Правила вывода [math]P[/math]:

[math]\begin{array}{l l} S \rightarrow \varepsilon\\ S \rightarrow SS\\ S \rightarrow (S)\\ \end{array}[/math]

Данная грамматика задает язык правильных скобочных последовательностей. Например, последовательность [math](()(()))[/math] может быть выведена следующим образом:

[math] S \Rightarrow (S) \Rightarrow (SS) \Rightarrow (()(S)) \Rightarrow (()(())) [/math]

Нормальная форма Хомского[править]

Нормальная форма Хомского — нормальная форма КС-грамматик, в которой все продукции имеют вид:

  • [math]A \rightarrow a[/math], где [math]A[/math] — нетерминал, а [math]a[/math] — терминал
  • [math]A \rightarrow BC[/math], где [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] — нетерминалы, причем [math]B[/math] и [math]C[/math] не являются начальными нетерминалами
  • [math]S \rightarrow \varepsilon[/math], где [math]S[/math] — начальный нетерминал и [math]\varepsilon[/math] — пустая строка (данная продукция необходима, если в языке присуствует пустая строка)

Можно показать, что любую КС-грамматику можно привести к нормальной форме Хомского.

Алгоритм[править]

Алгоритм Кока-Янгера-Касами (англ. Cocke-Younger-Kasami algorithm, англ. CYK-алгоритм) — алгоритм, позволяющий по слову узнать, выводимо ли оно в заданной КС-грамматике в нормальной форме Хомского. Любую КС-грамматику можно привести к НФХ, поэтому алгоритм является универсальным для любой КС-грамматики.

Будем решать задачу динамическим программированием. Дана строка [math]w[/math] размером [math]n[/math]. Заведем для неё трехмерный массив [math]d[/math] размером [math]|N| \times n \times n[/math], состоящий из логических значений, и [math]d[A][i][j] = true \ [/math] тогда и только тогда, когда из нетерминала [math]A[/math] правилами грамматики можно вывести подстроку [math]w[i \ldots j][/math].

Рассмотрим все пары [math]\lbrace \langle j, i \rangle | j-i=m \rbrace[/math], где [math]m[/math] — константа и [math]m \lt n[/math].

  • [math]i = j[/math]. Инициализируем массив для всех нетерминалов, из которых выводится какой-либо символ строки [math]w[/math]. В таком случае [math]d[A][i][i] = true \ [/math], если в грамматике [math]\Gamma[/math] присутствует правило [math]A \rightarrow w[i][/math]. Иначе [math]d[A][i][i] = false[/math].
  • [math]i \ne j[/math]. Значения для всех нетерминалов и пар [math]\lbrace \langle j', i' \rangle | j' - i' \lt m \rbrace[/math] уже вычислены, поэтому [math]d[A][i][j] = \bigvee\limits_{A \rightarrow BC}\bigvee\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \wedge d[C][k+1][j] \ \ [/math]. То есть, подстроку [math]w[i \ldots j][/math] можно вывести из нетерминала [math]A[/math], если существует продукция вида [math]A \rightarrow BC[/math] и такое [math]k[/math], что подстрока [math]w[i \ldots k][/math] выводима из [math]B[/math], а подстрока [math]w[k + 1 \ldots j][/math] выводится из [math]C[/math].

CYK rule 2.jpg

После окончания работы значение [math]d[S][1][n][/math] содержит ответ на вопрос, выводима ли данная строка в данной грамматике, где [math]S[/math] — начальный символ грамматики.

Модификации[править]

Количество способов вывести слово[править]

Если массив будет хранить целые числа, а формулу заменить на [math]d[A][i][j] = \sum\limits_{A \rightarrow BC}\sum\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \cdot d[C][k + 1][j] \ \ [/math], то [math]d[A][i][j][/math] — количество способов получить подстроку [math]w[i \ldots j][/math] из нетерминала [math]A[/math].

Минимальная стоимость вывода слова[править]

Пусть [math]H(A \rightarrow BC)[/math] — стоимость вывода по правилу [math]A \rightarrow BC[/math]. Тогда, если использовать формулу [math]d[A][i][j] = \min\limits_{A \rightarrow BC} \min\limits_{k = i}^{j-1} ( d[B][i][k] + d[C][k + 1][j] + H(A \rightarrow BC) ) \ \ [/math], то [math]d[A][i][j][/math] — минимальная стоимость вывода подстроки [math]w[i \ldots j][/math] из нетерминала [math]A[/math].

Таким образом, задача о выводе в КС-грамматике в нормальной форме Хомского является частным случаем задачи динамического программирования на подотрезке.

Асимптотика[править]

Обработка правил вида [math]A \rightarrow w[i][/math] выполняется за [math]O(n \cdot |\Gamma|)[/math].

Проход по всем подстрокам выполняется за [math]O(n^2)[/math]. В обработке одной подстроки присутствует цикл по всем правилам вывода и по всем разбиениям на две подстроки, следовательно обработка работает за [math]O(n \cdot |\Gamma|)[/math]. В итоге получаем конечную сложность [math]O(n^3 \cdot |\Gamma|)[/math].

Следовательно, общее время работы алгоритма — [math]O(n^3 \cdot |\Gamma|)[/math]. Кроме того, алгоритму требуется память на массив [math]d[/math] объемом [math]O(n^2 \cdot |N|)[/math], где [math]|N|[/math] — количество нетерминалов грамматики.

Пример работы[править]

Дана грамматика правильных скобочных последовательностей [math]\Gamma[/math] в нормальной форме Хомского.

[math]\begin{array}{l l} A \rightarrow \varepsilon\ |\ BB\ |\ CD\\ B \rightarrow BB\ |\ CD\\ C \rightarrow (\\ D \rightarrow BE\ |\ )\\ E \rightarrow )\\ \end{array}[/math]

Дано слово [math]w = ()(())[/math].


Инициализация массива [math]d[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Заполнение массива [math]d[/math].


Итерация [math]m = 1[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Итерация [math]m = 2[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Итерация [math]m = 3[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Итерация [math]m = 4[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Итерация [math]m = 5[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

См. также[править]

Источники информации[править]