390
правок
Изменения
м
{| clear="both" |}
{| clear<div style="clear:both;" |}></div>
{| clear="both" |}
Итерация m = <tex>1</tex>.
{| clear<div style="clear:both;" |} Итерация m = <tex>2</texdiv>.
{| clear<div style="clear:both;" |} Итерация m = <tex>3</texdiv>.
{| clear<div style="clear:both;" |} Итерация m = <tex>4</texdiv>.
{| clear<div style="clear:both;" |} Итерация m = <tex>5</texdiv>.
|}
{| clear="both" |}
Итерация m = <tex>6</tex>.
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7"|A
|-
!
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
|-
! 1
|
| align="center"| ●
|
|
|
| align="center"| ●
|-
! 2
|
|
|
|
|
|
|-
! 3
|
|
|
|
|
| align="center"| ●
|-
! 4
|
|
|
|
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|
|
|
|
|-
! 6
|
|
|
|
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7"|B
|-
!
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
|-
! 1
|
| align="center"| ●
|
|
|
| align="center"| ●
|-
! 2
|
|
|
|
|
|
|-
! 3
|
|
|
|
|
| align="center"| ●
|-
! 4
|
|
|
|
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|
|
|
|
|-
! 6
|
|
|
|
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7"|C
|-
!
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
|-
! 1
| align="center"| ●
|
|
|
|
|
|-
! 2
|
|
|
|
|
|
|-
! 3
|
|
| align="center"| ●
|
|
|
|-
! 4
|
|
|
| align="center"| ●
|
|
|-
! 5
|
|
|
|
|
|
|-
! 6
|
|
|
|
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7"|D
|-
!
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
|-
! 1
|
|
|
|
|
|
|-
! 2
|
| align="center"| ●
|
|
|
|
|-
! 3
|
|
|
|
|
|
|-
! 4
|
|
|
|
|
| align="center"| ●
|-
! 5
|
|
|
|
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
|
|
|
|
| align="center"| ●
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; "
! colspan="7"|E
|-
!
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
|-
! 1
|
|
|
|
|
|
|-
! 2
|
| align="center"| ●
|
|
|
|
|-
! 3
|
|
|
|
|
|
|-
! 4
|
|
|
|
|
|
|-
! 5
|
|
|
|
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
|
|
|
|
| align="center"| ●
{| clear<div style="clear:both;" |}></div>
→Контекстно-свободная грамматика: тире
* <tex>N</tex> {{---}} множество, элементы которого называют '''нетерминалами''' (англ. ''nonterminals'')
* <tex>S</tex> {{---}} начальный символ грамматики (англ. ''start symbol'')
* <tex>P</tex> {{---}} набор правил вывода (англ. ''production rules'' или ''productions'') вида <tex>A \rightarrow B_1 B_2 ... \ldots B_n</tex>, где <tex>A \in N</tex>, <tex>B_i \in \Sigma \cup N</tex>, то есть у которых левые части {{---}} одиночные нетерминалы, а правые {{- --}} последовательности терминалов и нетерминалов.
}}
=== Пример ===
== Нормальная форма Хомского ==
'''[[Нормальная форма Хомского]]''' {{- --}} нормальная форма КС-грамматик, в которой все продукции имеют вид:* <tex>A → \rightarrow a</tex>, где ''<tex>A'' </tex> {{--- }} нетерминал, а ''<tex>a'' </tex> {{--- }} терминал* <tex>A → \rightarrow BC</tex>, где ''<tex>A''</tex>, ''<tex>B''</tex>, ''<tex>C'' </tex> {{-- -}} нетерминалы, причем ''<tex>B'' </tex> и ''<tex>C'' </tex> не являются начальными нетерминалами* <tex>S → ε\rightarrow \varepsilon</tex>, где <tex>S </tex> {{--- }} начальный нетерминал и ε <tex>\varepsilon</tex> {{--- }} пустая строка (данная продукция необходима, если в языке присуствует пустая строка)
[[Нормальная форма Хомского|Можно показать]], что любую КС-грамматику можно привести к нормальной форме Хомского, поэтому алгоритм является в этом плане универсальным.
== Алгоритм ==
'''Алгоритм Кока-Янгера-Касами''' (англ. ''Cocke-Younger-Kasami algorithm'', англ. ''CYK-алгоритм'') {{---}} универсальный алгоритм, позволяющий по слову узнать, выводимо ли оно в заданной КС-грамматике в нормальной форме Хомского. Любую КС-грамматику можно привести к НФХ, поэтому алгоритм является универсальным для любой КС-грамматики. Будем решать задачу [[Динамическое_программирование|динамическим программированием]]. Дана строка <tex>w</tex> размером <tex>n</tex>. Заведем для неё трехмерный массив <tex>d</tex> размером <tex>|N| \times n \times n</tex>, состоящий из логических значений, и <tex>d[A][i][j] = true\ </tex> тогда и только тогда, когда из нетерминала <tex>A</tex> правилами грамматики можно вывести подстроку <tex>w[i \dots ldots j]</tex>.
Рассмотрим все пары <tex>\lbrace \langle j, i \rangle | j-i=m \rbrace</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} константа и <tex>m < n</tex>.
* <tex>i = j</tex>. Инициализируем массив для всех нетерминалов, из которых выводится какой-либо символ строки <tex>w</tex>. В таком случае <tex>d[A][i][i] = true\ </tex>, если в грамматике <tex>\Gamma</tex> присутствует правило <tex>A \rightarrow w[i]</tex>. Иначе <tex>d[A][i][i] = false</tex>.
* <tex>i \ne j</tex>. Значения для всех нетерминалов и пар <tex>\lbrace \langle j', i' \rangle | j' - i' < m \rbrace</tex> уже вычислены, поэтому <tex>d[A][i][j] = \bigvee\limits_{A \rightarrow BC}\bigvee\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \wedge d[C][k+1][j]\ \ </tex>. То есть, подстроку <tex>w[i \dots ldots j]</tex> можно вывести из нетерминала <tex>A</tex>, если существует продукция вида <tex>A \rightarrow BC</tex> и такое <tex>k</tex>, что подстрока <tex>w[i \dots ldots k]</tex> выводима из <tex>B</tex>, а подстрока <tex>w[k + 1 \dots ldots j]</tex> выводится из <tex>C</tex>.
[[Файл:CYK_rule_2.jpg|400px]]
=== Количество способов вывести слово ===
Если массив будет хранить целые числа, а формулу заменить на <tex>d[A][i][j] = \sum\limits_{A \rightarrow BC}\sum\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \cdot d[C][k + 1][j]\ \ </tex>, то <tex>d[A][i][j]</tex> {{---}} количество способов получить подстроку <tex>w[i \dots ldots j]</tex> из нетерминала <tex>A</tex>.
=== Минимальная стоимость вывода слова ===
Пусть <tex>H(A \rightarrow BC)</tex> {{---}} стоимость вывода по правилу <tex>A \rightarrow BC</tex>. Тогда, если использовать формулу <tex>d[A][i][j] = \min\limits_{A \rightarrow BC} \min\limits_{k = i}^{j-1} ( d[B][i][k] + d[C][k + 1][j] + H(A \rightarrow BC) )\ \ </tex>, то <tex>d[A][i][j]</tex> {{---}} минимальная стоимость вывода подстроки <tex>w[i \dots ldots j]</tex> из нетерминала <tex>A</tex>.
Таким образом, задача о выводе в КС-грамматике в нормальной форме Хомского является частным случаем задачи динамического программирования на подотрезке.
<tex>\begin{array}{l l}
A \rightarrow \varepsilon\ |\ BB\ |\ CD\\ B \rightarrow BB\ |\ CD\\
C \rightarrow (\\
D \rightarrow BE\ |\ )\\
E \rightarrow )\\
\end{array}</tex>
Дано слово <tex>w = $()(())$</tex>.
Инициализация массива <tex>d</tex>.
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left; " ! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
Заполнение массива <tex>d</tex>.
Итерация <tex>m = 1</tex>.
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left; " ! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
Итерация <tex>m = 2</tex>.
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
| align="center"| ●
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left; " ! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
Итерация <tex>m = 3</tex>.
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
| align="center"| ●
|-
! 4
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
| align="center"| ●
|-
! 4
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
| align="center"| ●
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left; " ! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
Итерация <tex>m = 4</tex>.
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
| align="center"| ●
|-
! 4
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
| align="center"| ●
|-
! 4
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
| align="center"| ●
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left; " ! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
Итерация <tex>m = 5</tex>.
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
|-
!
|
| align="center"| ●
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
| align="center"| ●
|-
! 4
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
|-
!
|
| align="center"| ●
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
| align="center"| ●
|-
! 4
| align="center"| ●
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
|
|
|-
! 6
|
|
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
| align="center"| ●
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left; " ! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
|-
!
|
|
|-
! 2
|
|
|-
! 3
|
|
|-
! 4
|
|
|-
! 5
| align="center"| ●
|
|-
! 6
|
| align="center"| ●
|}
== См. также ==
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
[[Категория: Алгоритмы разбора]]
