Изменения

* <tex>P</tex> {{---}} набор правил вывода (англ. ''production rules'' или ''productions'') вида <tex>A \rightarrow B_1 B_2 ... \ldots B_n</tex>, где <tex>A \in N</tex>, <tex>B_i \in \Sigma \cup N</tex>, то есть у которых левые части {{---}} одиночные нетерминалы, а правые {{- --}} последовательности терминалов и нетерминалов.

'''[[Нормальная форма Хомского]]''' {{- --}} нормальная форма КС-грамматик, в которой все продукции имеют вид:* <tex>A &rarr; \rightarrow a</tex>, где ''<tex>A'' </tex> {{--- }} нетерминал, а ''<tex>a'' </tex> {{--- }} терминал* <tex>A &rarr; \rightarrow BC</tex>, где ''<tex>A''</tex>, ''<tex>B''</tex>, ''<tex>C'' </tex> {{-- -}} нетерминалы, причем ''<tex>B'' </tex> и ''<tex>C'' </tex> не являются начальными нетерминалами* <tex>S &rarr; ε\rightarrow \varepsilon</tex>, где <tex>S </tex> {{--- }} начальный нетерминал и ε <tex>\varepsilon</tex> {{--- }} пустая строка (данная продукция необходима, если в языке присуствует пустая строка)

[[Нормальная форма Хомского|Можно показать]], что любую КС-грамматику можно привести к нормальной форме Хомского, поэтому алгоритм является в этом плане универсальным.

'''Алгоритм Кока-Янгера-Касами''' (англ. ''Cocke-Younger-Kasami algorithm'', англ. ''CYK-алгоритм'') {{---}} универсальный алгоритм, позволяющий по слову узнать, выводимо ли оно в заданной КС-грамматике в нормальной форме Хомского. Любую КС-грамматику можно привести к НФХ, поэтому алгоритм является универсальным для любой КС-грамматики. Будем решать задачу [[Динамическое_программирование|динамическим программированием]]. Дана строка <tex>w</tex> размером <tex>n</tex>. Заведем для неё трехмерный массив <tex>d</tex> размером <tex>|N| \times n \times n</tex>, состоящий из логических значений, и <tex>d[A][i][j] = true\ </tex> тогда и только тогда, когда из нетерминала <tex>A</tex> правилами грамматики можно вывести подстроку <tex>w[i \dots ldots j]</tex>.

* <tex>i = j</tex>. Инициализируем массив для всех нетерминалов, из которых выводится какой-либо символ строки <tex>w</tex>. В таком случае <tex>d[A][i][i] = true\ </tex>, если в грамматике <tex>\Gamma</tex> присутствует правило <tex>A \rightarrow w[i]</tex>. Иначе <tex>d[A][i][i] = false</tex>.

* <tex>i \ne j</tex>. Значения для всех нетерминалов и пар <tex>\lbrace \langle j', i' \rangle | j' - i' < m \rbrace</tex> уже вычислены, поэтому <tex>d[A][i][j] = \bigvee\limits_{A \rightarrow BC}\bigvee\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \wedge d[C][k+1][j]\ \ </tex>. То есть, подстроку <tex>w[i \dots ldots j]</tex> можно вывести из нетерминала <tex>A</tex>, если существует продукция вида <tex>A \rightarrow BC</tex> и такое <tex>k</tex>, что подстрока <tex>w[i \dots ldots k]</tex> выводима из <tex>B</tex>, а подстрока <tex>w[k + 1 \dots ldots j]</tex> выводится из <tex>C</tex>.

Если массив будет хранить целые числа, а формулу заменить на <tex>d[A][i][j] = \sum\limits_{A \rightarrow BC}\sum\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \cdot d[C][k + 1][j]\ \ </tex>, то <tex>d[A][i][j]</tex> {{---}} количество способов получить подстроку <tex>w[i \dots ldots j]</tex> из нетерминала <tex>A</tex>.

Пусть <tex>H(A \rightarrow BC)</tex> {{---}} стоимость вывода по правилу <tex>A \rightarrow BC</tex>. Тогда, если использовать формулу <tex>d[A][i][j] = \min\limits_{A \rightarrow BC} \min\limits_{k = i}^{j-1} ( d[B][i][k] + d[C][k + 1][j] + H(A \rightarrow BC) )\ \ </tex>, то <tex>d[A][i][j]</tex> {{---}} минимальная стоимость вывода подстроки <tex>w[i \dots ldots j]</tex> из нетерминала <tex>A</tex>.

A \rightarrow \varepsilon \ | \ BB \ | \ CD\\ B \rightarrow BB \ | \ CD\\

D \rightarrow BE \ | \ )\\

Дано слово <tex>w = $()(())$</tex>.