Алгоритм Кока-Янгера-Касами разбора грамматики в НФХ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Контекстно-свободная грамматика: тире)
 
(не показано 39 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
Пусть дана [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]] грамматика <tex>\Gamma</tex> и слово <tex>w \in \Sigma^{*}</tex>. Требуется выяснить, выводится ли это слово в данной грамматике.
+
{{Задача
 +
|definition =
 +
Пусть дана [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]] <tex>\Gamma</tex> в [[нормальная форма Хомского|нормальной форме Хомского]] и слово <tex>w \in \Sigma^{*}</tex>. Требуется выяснить, выводится ли это слово в данной грамматике.
 +
}}
  
== Алгоритм для НФХ-грамматики ==
+
== Контекстно-свободная грамматика ==
Пусть <tex>\Gamma</tex> приведена к [[нормальная форма Хомского|нормальной форме Хомского]].
+
{{Определение
 +
|definition =  
 +
'''[[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|Контекстно-свободная грамматика]]''' ('''КС-грамматика''', '''бесконтекстная грамматика''') {{---}} способ описания формального языка, представляющий собой четверку
 +
<tex>\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset N^{+}\times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle</tex>, где:
 +
* <tex>\Sigma</tex> {{---}} [[Основные_определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов|алфавит]], элементы которого называют '''терминалами''' (англ. ''terminals'')
 +
* <tex>N</tex> {{---}} множество, элементы которого называют '''нетерминалами''' (англ. ''nonterminals'')
 +
* <tex>S</tex> {{---}} начальный символ грамматики (англ. ''start symbol'')
 +
* <tex>P</tex> {{---}} набор правил вывода (англ. ''production rules'' или ''productions'') вида <tex>A \rightarrow B_1 B_2 \ldots B_n</tex>, где <tex>A \in N</tex>, <tex>B_i \in \Sigma \cup N</tex>, то есть у которых левые части {{---}} одиночные нетерминалы, а правые {{---}} последовательности терминалов и нетерминалов.
 +
}}
 +
=== Пример ===
  
Пусть <tex>a_{A, i, j} = true</tex>, если из нетерминала <tex>A</tex> можно вывести подстроку <tex>w[i..j]</tex>. Иначе <tex>a_{A, i, j} = false</tex>:
+
Терминалы <tex>\Sigma = \{(, )\}</tex>.
  
<tex>a_{A, i, j} =  
+
Нетерминалы <tex>N = \{S\}</tex>.
\begin{cases}
 
true,&\text{$A \Rightarrow^{*} w[i..j]$;}\\
 
false,&\text{else.}
 
\end{cases}
 
</tex>.
 
  
Будем динамически заполненять матрицу <tex>a_{A, i, j}</tex> следующим алгоритмом:
+
Правила вывода <tex>P</tex>:
  
*'''База'''. Ячейки <tex>a_{A, i, i}</tex> заполняются истиной, если правило <tex>A \rightarrow w[i]</tex> принадлежит множеству правил <tex>P</tex> грамматики <tex>\Gamma</tex>:
+
<tex>\begin{array}{l l}
<tex>a_{A, i, j} = \lbrack A \rightarrow w[i] \in P \rbrack</tex>.
+
S \rightarrow \varepsilon\\
 +
S \rightarrow SS\\
 +
S \rightarrow (S)\\
 +
\end{array}</tex>
  
*'''Переход'''. Пусть на текущем шаге <tex>j-i=m>0</tex>. Если все ячейки, для которых справедливо <tex>j-i<m</tex>, уже вычислены, то алгоритм смотрит, можно ли вывести подстроку <tex>w[i..j]</tex> из этих ячеек:
+
Данная грамматика задает язык [[Правильные_скобочные_последовательности|правильных скобочных последовательностей]]. Например, последовательность <tex>(()(()))</tex> может быть выведена следующим образом:
<tex>a_{A, i, j} = \bigvee\limits_{k=i}^{j-1} \bigvee\limits_{A \rightarrow BC} \left( a_{B, i, k} \wedge a_{C, k+1, j}  \right)</tex>.
 
  
[[Файл:CYK_rule_2.jpg]]
+
<tex> S \Rightarrow (S) \Rightarrow (SS) \Rightarrow (()(S)) \Rightarrow (()(())) </tex>
  
*'''Завершение'''. После окончания работы ответ содержится в ячейке <tex>a_{S, 1, n}</tex>, где <tex>n = |w|</tex>.
+
== Нормальная форма Хомского ==
  
== Сложность алгоритма ==
+
'''[[Нормальная форма Хомского]]''' {{---}} нормальная форма КС-грамматик, в которой все продукции имеют вид:
Необходимо вычислить <tex>n^2</tex> булевых величин. На каждую требуется затратить <tex>n \cdot |P_A|</tex> операций, где <tex>|P_A|</tex> – количество правил. Суммируя по всем правилам получаем конечную сложность <tex>O \left( n^3 \cdot |\Gamma| \right)</tex>.
+
* <tex>A \rightarrow a</tex>, где <tex>A</tex> {{---}} нетерминал, а <tex>a</tex> {{---}} терминал
 +
* <tex>A \rightarrow BC</tex>, где <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> {{---}} нетерминалы, причем <tex>B</tex> и <tex>C</tex> не являются начальными нетерминалами
 +
* <tex>S \rightarrow \varepsilon</tex>, где <tex>S</tex> {{---}} начальный нетерминал и <tex>\varepsilon</tex> {{---}} пустая строка (данная продукция необходима, если в языке присуствует пустая строка)
  
Алгоритму требуется <tex>n^2 \cdot |N|</tex> памяти, где <tex>|N|</tex> – количество нетерминалов грамматики.
+
[[Нормальная форма Хомского|Можно показать]], что любую КС-грамматику можно привести к нормальной форме Хомского.
  
Минус алгоритма заключается в том, что изначально грамматику необходимо привести к НФХ.
+
== Алгоритм ==
 +
'''Алгоритм Кока-Янгера-Касами''' (англ. ''Cocke-Younger-Kasami algorithm'', англ. ''CYK-алгоритм'') {{---}} алгоритм, позволяющий по слову узнать, выводимо ли оно в заданной КС-грамматике в нормальной форме Хомского. Любую КС-грамматику можно привести к НФХ, поэтому алгоритм является универсальным для любой КС-грамматики.
 +
 
 +
Будем решать задачу [[Динамическое_программирование|динамическим программированием]]. Дана строка <tex>w</tex> размером <tex>n</tex>. Заведем для неё трехмерный массив <tex>d</tex> размером <tex>|N| \times n \times n</tex>, состоящий из логических значений, и <tex>d[A][i][j] = true \ </tex> тогда и только тогда, когда из нетерминала <tex>A</tex> правилами грамматики можно вывести подстроку <tex>w[i \ldots j]</tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим все пары <tex>\lbrace \langle j, i \rangle | j-i=m \rbrace</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} константа и <tex>m < n</tex>.
 +
 
 +
* <tex>i = j</tex>. Инициализируем массив для всех нетерминалов, из которых выводится какой-либо символ строки <tex>w</tex>. В таком случае <tex>d[A][i][i] = true \ </tex>, если в грамматике <tex>\Gamma</tex> присутствует правило <tex>A \rightarrow w[i]</tex>. Иначе <tex>d[A][i][i] = false</tex>.
 +
 
 +
* <tex>i \ne j</tex>. Значения для всех нетерминалов и пар <tex>\lbrace \langle j', i' \rangle | j' - i' < m \rbrace</tex> уже вычислены, поэтому <tex>d[A][i][j] = \bigvee\limits_{A \rightarrow BC}\bigvee\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \wedge d[C][k+1][j] \ \ </tex>. То есть, подстроку <tex>w[i \ldots j]</tex> можно вывести из нетерминала <tex>A</tex>, если существует продукция вида <tex>A \rightarrow BC</tex> и такое <tex>k</tex>, что подстрока <tex>w[i \ldots k]</tex> выводима из <tex>B</tex>, а подстрока <tex>w[k + 1 \ldots j]</tex> выводится из <tex>C</tex>.
 +
[[Файл:CYK_rule_2.jpg|400px]]
 +
 
 +
После окончания работы значение <tex>d[S][1][n]</tex> содержит ответ на вопрос, выводима ли данная строка в данной грамматике, где <tex>S</tex> {{---}} начальный символ грамматики.
 +
 
 +
== Модификации ==
 +
 
 +
=== Количество способов вывести слово ===
 +
Если массив будет хранить целые числа, а формулу заменить на <tex>d[A][i][j] = \sum\limits_{A \rightarrow BC}\sum\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \cdot d[C][k + 1][j] \ \ </tex>, то <tex>d[A][i][j]</tex> {{---}} количество способов получить подстроку <tex>w[i \ldots j]</tex> из нетерминала <tex>A</tex>.
 +
 
 +
=== Минимальная стоимость вывода слова ===
 +
Пусть <tex>H(A \rightarrow BC)</tex> {{---}} стоимость вывода по правилу <tex>A \rightarrow BC</tex>. Тогда, если использовать формулу <tex>d[A][i][j] = \min\limits_{A \rightarrow BC} \min\limits_{k = i}^{j-1}  ( d[B][i][k] + d[C][k + 1][j] + H(A \rightarrow BC) ) \ \ </tex>, то <tex>d[A][i][j]</tex> {{---}} минимальная стоимость вывода подстроки <tex>w[i \ldots j]</tex> из нетерминала <tex>A</tex>.
 +
 
 +
Таким образом, задача о выводе в КС-грамматике в нормальной форме Хомского является частным случаем задачи динамического программирования на подотрезке.
 +
 
 +
== Асимптотика ==
 +
Обработка правил вида <tex>A \rightarrow w[i]</tex> выполняется за <tex>O(n \cdot |\Gamma|)</tex>.
 +
 
 +
Проход по всем подстрокам выполняется за <tex>O(n^2)</tex>. В обработке одной подстроки присутствует цикл по всем правилам вывода и по всем разбиениям на две подстроки, следовательно обработка работает за <tex>O(n \cdot |\Gamma|)</tex>. В итоге получаем конечную сложность <tex>O(n^3 \cdot |\Gamma|)</tex>.
 +
 
 +
Следовательно, общее время работы алгоритма {{---}} <tex>O(n^3 \cdot |\Gamma|)</tex>. Кроме того, алгоритму требуется память на массив <tex>d</tex> объемом <tex>O(n^2 \cdot |N|)</tex>, где <tex>|N|</tex> {{---}}  количество [[Формальные_грамматики#Определения|нетерминалов]] грамматики.
 +
 
 +
== Пример работы ==
 +
Дана грамматика [[Правильные_скобочные_последовательности|правильных скобочных последовательностей]] <tex>\Gamma</tex> в нормальной форме Хомского.
 +
 
 +
<tex>\begin{array}{l l} 
 +
A \rightarrow \varepsilon\ |\ BB\ |\ CD\\
 +
B \rightarrow BB\ |\ CD\\
 +
C \rightarrow (\\
 +
D \rightarrow BE\ |\ )\\
 +
E \rightarrow )\\
 +
\end{array}</tex>
 +
 
 +
Дано слово <tex>w = ()(())</tex>.
 +
 
 +
 
 +
Инициализация массива <tex>d</tex>.
 +
 
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
<div style="clear:both;"></div>
 +
 
 +
Заполнение массива <tex>d</tex>.
 +
 
 +
 
 +
Итерация <tex>m = 1</tex>.
 +
 
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
<div style="clear:both;"></div>
 +
 
 +
Итерация <tex>m = 2</tex>.
 +
 
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
<div style="clear:both;"></div>
 +
 
 +
Итерация <tex>m = 3</tex>.
 +
 
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
<div style="clear:both;"></div>
 +
 
 +
Итерация <tex>m = 4</tex>.
 +
 
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
<div style="clear:both;"></div>
 +
 
 +
Итерация <tex>m = 5</tex>.
 +
 
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|A
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|B
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|C
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|D
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
{| border="1" class="wikitable" style="width: 150px; height: 150px; float: left;"
 +
! colspan="7" style="background:#ffdead;"|E
 +
|-
 +
!
 +
! 1
 +
! 2
 +
! 3
 +
! 4
 +
! 5
 +
! 6
 +
|-
 +
! 1
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 2
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 3
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 4
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|-
 +
! 5
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|
 +
|-
 +
! 6
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
|
 +
| align="center"| ●
 +
|}
 +
<div style="clear:both;"></div>
 +
 
 +
== См. также ==
 +
* [[Алгоритм Кока-Янгера-Касами, модификация для произвольной грамматики|Алгоритм Кока-Янгера-Касами, модификация для произвольной грамматики]]
 +
* [[Алгоритм_Эрли|Алгоритм Эрли]]
 +
==Источники информации==
 +
* [[wikipedia:CYK_algorithm|Wikipedia {{---}} CYK algorithm]]
 +
* [http://web.cs.ucdavis.edu/~rogaway/classes/120/winter12/CYK.pdf David Rodriguez-Velazquez, "The CYK Algorithm"]
 +
* [https://www.princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/docs/CYK_algorithm.html Princeton University, "The CYK Algorithm"]
 +
 
 +
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория:Динамическое программирование]]
 +
[[Категория: Теория формальных языков]]
 +
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
 +
[[Категория: Алгоритмы разбора]]

Текущая версия на 22:51, 23 мая 2019

Задача:
Пусть дана контекстно-свободная грамматика [math]\Gamma[/math] в нормальной форме Хомского и слово [math]w \in \Sigma^{*}[/math]. Требуется выяснить, выводится ли это слово в данной грамматике.


Контекстно-свободная грамматика[править]

Определение:
Контекстно-свободная грамматика (КС-грамматика, бесконтекстная грамматика) — способ описания формального языка, представляющий собой четверку

[math]\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset N^{+}\times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle[/math], где:

  • [math]\Sigma[/math]алфавит, элементы которого называют терминалами (англ. terminals)
  • [math]N[/math] — множество, элементы которого называют нетерминалами (англ. nonterminals)
  • [math]S[/math] — начальный символ грамматики (англ. start symbol)
  • [math]P[/math] — набор правил вывода (англ. production rules или productions) вида [math]A \rightarrow B_1 B_2 \ldots B_n[/math], где [math]A \in N[/math], [math]B_i \in \Sigma \cup N[/math], то есть у которых левые части — одиночные нетерминалы, а правые — последовательности терминалов и нетерминалов.

Пример[править]

Терминалы [math]\Sigma = \{(, )\}[/math].

Нетерминалы [math]N = \{S\}[/math].

Правила вывода [math]P[/math]:

[math]\begin{array}{l l} S \rightarrow \varepsilon\\ S \rightarrow SS\\ S \rightarrow (S)\\ \end{array}[/math]

Данная грамматика задает язык правильных скобочных последовательностей. Например, последовательность [math](()(()))[/math] может быть выведена следующим образом:

[math] S \Rightarrow (S) \Rightarrow (SS) \Rightarrow (()(S)) \Rightarrow (()(())) [/math]

Нормальная форма Хомского[править]

Нормальная форма Хомского — нормальная форма КС-грамматик, в которой все продукции имеют вид:

  • [math]A \rightarrow a[/math], где [math]A[/math] — нетерминал, а [math]a[/math] — терминал
  • [math]A \rightarrow BC[/math], где [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] — нетерминалы, причем [math]B[/math] и [math]C[/math] не являются начальными нетерминалами
  • [math]S \rightarrow \varepsilon[/math], где [math]S[/math] — начальный нетерминал и [math]\varepsilon[/math] — пустая строка (данная продукция необходима, если в языке присуствует пустая строка)

Можно показать, что любую КС-грамматику можно привести к нормальной форме Хомского.

Алгоритм[править]

Алгоритм Кока-Янгера-Касами (англ. Cocke-Younger-Kasami algorithm, англ. CYK-алгоритм) — алгоритм, позволяющий по слову узнать, выводимо ли оно в заданной КС-грамматике в нормальной форме Хомского. Любую КС-грамматику можно привести к НФХ, поэтому алгоритм является универсальным для любой КС-грамматики.

Будем решать задачу динамическим программированием. Дана строка [math]w[/math] размером [math]n[/math]. Заведем для неё трехмерный массив [math]d[/math] размером [math]|N| \times n \times n[/math], состоящий из логических значений, и [math]d[A][i][j] = true \ [/math] тогда и только тогда, когда из нетерминала [math]A[/math] правилами грамматики можно вывести подстроку [math]w[i \ldots j][/math].

Рассмотрим все пары [math]\lbrace \langle j, i \rangle | j-i=m \rbrace[/math], где [math]m[/math] — константа и [math]m \lt n[/math].

  • [math]i = j[/math]. Инициализируем массив для всех нетерминалов, из которых выводится какой-либо символ строки [math]w[/math]. В таком случае [math]d[A][i][i] = true \ [/math], если в грамматике [math]\Gamma[/math] присутствует правило [math]A \rightarrow w[i][/math]. Иначе [math]d[A][i][i] = false[/math].
  • [math]i \ne j[/math]. Значения для всех нетерминалов и пар [math]\lbrace \langle j', i' \rangle | j' - i' \lt m \rbrace[/math] уже вычислены, поэтому [math]d[A][i][j] = \bigvee\limits_{A \rightarrow BC}\bigvee\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \wedge d[C][k+1][j] \ \ [/math]. То есть, подстроку [math]w[i \ldots j][/math] можно вывести из нетерминала [math]A[/math], если существует продукция вида [math]A \rightarrow BC[/math] и такое [math]k[/math], что подстрока [math]w[i \ldots k][/math] выводима из [math]B[/math], а подстрока [math]w[k + 1 \ldots j][/math] выводится из [math]C[/math].

CYK rule 2.jpg

После окончания работы значение [math]d[S][1][n][/math] содержит ответ на вопрос, выводима ли данная строка в данной грамматике, где [math]S[/math] — начальный символ грамматики.

Модификации[править]

Количество способов вывести слово[править]

Если массив будет хранить целые числа, а формулу заменить на [math]d[A][i][j] = \sum\limits_{A \rightarrow BC}\sum\limits_{k = i}^{j-1} d[B][i][k] \cdot d[C][k + 1][j] \ \ [/math], то [math]d[A][i][j][/math] — количество способов получить подстроку [math]w[i \ldots j][/math] из нетерминала [math]A[/math].

Минимальная стоимость вывода слова[править]

Пусть [math]H(A \rightarrow BC)[/math] — стоимость вывода по правилу [math]A \rightarrow BC[/math]. Тогда, если использовать формулу [math]d[A][i][j] = \min\limits_{A \rightarrow BC} \min\limits_{k = i}^{j-1} ( d[B][i][k] + d[C][k + 1][j] + H(A \rightarrow BC) ) \ \ [/math], то [math]d[A][i][j][/math] — минимальная стоимость вывода подстроки [math]w[i \ldots j][/math] из нетерминала [math]A[/math].

Таким образом, задача о выводе в КС-грамматике в нормальной форме Хомского является частным случаем задачи динамического программирования на подотрезке.

Асимптотика[править]

Обработка правил вида [math]A \rightarrow w[i][/math] выполняется за [math]O(n \cdot |\Gamma|)[/math].

Проход по всем подстрокам выполняется за [math]O(n^2)[/math]. В обработке одной подстроки присутствует цикл по всем правилам вывода и по всем разбиениям на две подстроки, следовательно обработка работает за [math]O(n \cdot |\Gamma|)[/math]. В итоге получаем конечную сложность [math]O(n^3 \cdot |\Gamma|)[/math].

Следовательно, общее время работы алгоритма — [math]O(n^3 \cdot |\Gamma|)[/math]. Кроме того, алгоритму требуется память на массив [math]d[/math] объемом [math]O(n^2 \cdot |N|)[/math], где [math]|N|[/math] — количество нетерминалов грамматики.

Пример работы[править]

Дана грамматика правильных скобочных последовательностей [math]\Gamma[/math] в нормальной форме Хомского.

[math]\begin{array}{l l} A \rightarrow \varepsilon\ |\ BB\ |\ CD\\ B \rightarrow BB\ |\ CD\\ C \rightarrow (\\ D \rightarrow BE\ |\ )\\ E \rightarrow )\\ \end{array}[/math]

Дано слово [math]w = ()(())[/math].


Инициализация массива [math]d[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Заполнение массива [math]d[/math].


Итерация [math]m = 1[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Итерация [math]m = 2[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Итерация [math]m = 3[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Итерация [math]m = 4[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

Итерация [math]m = 5[/math].

A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
B
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
C
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
D
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
E
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6

См. также[править]

Источники информации[править]