Изменения

<b>Алгоритм Краскала</b>(англ. ''Kruskal's algorithm'') — алгоритм поиска [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения | минимального остовного дерева ]] (англ. ''minimum spanning tree'', ''MST'') во взвешенном [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы | неориентированном связном графе]].

Будем последовательно строить подграф <tex>F</tex> графа <tex>G</tex> ("растущий лес"), поддерживая следующий инвариант: пытаясь на каждом шаге достроить <tex>F</tex> можно достроить до некоторого MST. Начнем с того, что включим в <tex>F</tex> все вершины графа <tex>G</tex>. Теперь будем обходить множество <tex>EGE(G)</tex> в порядке увеличения веса неубывания весов ребер. Добавление очередного ребра Если очередное ребро <tex>e</tex> в соединяет вершины одной компоненты связности <tex>F</tex> может привести , то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в одной из компонент этой компоненте связности <tex>F</tex>. В этом таком случае, очевидно, <tex>e</tex> не может быть включено в <tex>F</tex>. В противном случае Иначе <tex>e</tex> соединяет разные компоненты связности <tex>F</tex>, тогда существует [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения|разрез]] <tex> \langle S, T \rangle </tex> [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения|разрез]] такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа - — вторую. Тогда <tex>e</tex> и есть — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из [[Лемма о безопасном ребре#Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] следует, что <tex>F+e</tex> можно продолжить до MSTявляется безопасным, поэтому добавим это ребро в <tex>F</tex>.На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа <tex>G<br/tex>.Несложно понять, что после выполнения такой процедуры получится остовное дерево, при этом его минимальность вытекает из леммы о безопасном ребреДля проверки возможности добавления ребра используется [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев) | система непересекающихся множеств]].

<bfont color=green>Вход</b>: граф / <tex>G = (V, E)</tex>{{---}} исходный граф<br/font> <bfont color=green>Выход</b>: минимальный остов / <tex>F</tex> графа {{---}} минимальный остов</font> '''function''' <tex>G\mathtt{kruskalFindMST}():</tex><br>1) <tex>\mathtt{F := } \leftarrow V(V, \varnothingG)</tex><br>1) Отсортируем <tex>\mathtt{sort}(E(G))\</tex> по весу ребер. '''for''' <brtex>2) Заведем систему непересекающихся множеств vu \in E(DSUG) и инициализируем ее множеством </tex>V '''if''' </tex>.v<br/tex>3) Перебирая ребра и <tex>uv \in EGu</tex> в порядке увеличения веса, смотрим, принадлежат ли разных компонентах связности <tex>uF</tex> и <tex>v\mathtt{F}\ =\ \mathtt{F} \bigcup vu\</tex> одному множеству. Если нет, то объединяем множества, в которых лежат '''return''' <tex>u\mathtt{F} </tex> и  ==Задача о максимальном ребре минимального веса==Легко показать, что максимальное ребро в MST минимально. Обратное в общем случае неверно. Но MST из-за сортировки строится за <tex>vO(E \log E)</tex>. Однако из-за того, и добавляем что необходимо минимизировать только максимальное ребро, а не сумму всех рёбер, можно предъявить алгоритм, решающий задачу за линейное время. С помощью [[Поиск_k-ой_порядковой_статистики_за_линейное_время | алгоритма поиска k-ой порядковой статистики]] найдем ребро -медиану за <tex>uvO(E)</tex> к и разделим множество ребер на два равных по мощности так, чтобы ребра в первом не превосходили по весу ребер во втором. Проверим образуют ли ребра из первого подмножества остов графа, запустив [[Использование_обхода_в_глубину_для_проверки_связности|обход в глубину]]. * Если да, то рекурсивно запустим алгоритм от него.* В противном случае сконденсируем получившиеся несвязные компоненты в супервершины и рассмотрим граф с этими вершинами и ребрами из второго подмножества.На последнем шаге останутся две компоненты связности и одно ребро в первом подмножестве — это максимальное ребро минимального веса. На каждом шаге ребер становится в два раза меньше, а все операции выполняются за время пропорциональное количеству ребер на текущем шаге, тогда время работы алгоритма <tex>FO(E+\frac{E}{2}+\frac{E}{4}+...+1)=O(E)</tex>.<br>

|style="padding-left: 1em" |Первое ребро, которое будет рассмотрено - — '''ae''', так как его вес минимальный.<br/>Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''a''' - — красное и '''e''' -— зелёное).<br/>

|style="padding-left: 1em" |Рассмотрим следующие ребро - — '''cd'''.<br/>Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''c''' - синие — синее и '''d''' - — голубое).<br/>Объединим синие синее и голубое множество в одно (синиесинее), так как теперь они соединены ребром.

|style="padding-left: 1em" |Дальше рассмотрим ребро '''ab'''.<br/>Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''a''' - — красное и '''b''' - — розовое).<br/>

|style="padding-left: 1em" |Рассмотрим следующие ребро - — '''be'''.<br/>

Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''b''' - — красное и '''c''' - синие— синее).<br/>Объединим красное и синие синее множество в одно (красное), так как теперь они соединены ребром.

|style="padding-left: 1em" |Рёбра '''ec''' и '''ed''' соединяют вершины из одного множества,<br/>поэтому после их рассмотра просмотра они не будут добавлены в ответ<br/>

Полученный граф - — минимальное остовное дерево

Работа с DSU СНМ займет <tex>O(E\alpha(V))</tex>, где <tex>\alpha</tex> - — обратная функция Аккермана, которая не превосходит <tex>4 </tex> во всех практических приложениях и которую можно принять за константу.<br>Алгоритм работает за <tex>O(E(\log E+\alpha(V))) = O(E\log E) = O(E\log V^2) = O(E\log V)</tex>.

* Кормен, Томас Х., ЛейзерсонКормен, Чарльз И., РивестЛейзерсон, Рональд Л.Ривест, Клиффорд Штайн Клиффорд — Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%BA%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0 Википедия — Функция Аккермана]

[[Категория: Остовные деревья ]][[Категория: Построение остовных деревьев]]