3622
правки
Изменения
м
<font color=green>// для проверки возможности добавления ребра используется система непересекающихся множеств</font>
ОчевидноЛегко показать, что максимальное ребро в MST минимально. Пусть это не так, тогда рассмотрим разрез, который оно пересекает. В этом разрезе должно быть ребро с меньшим весом, иначе максимальное ребро было бы минимальным, но Обратное в таком общем случае минимальный остов не является минимальным, следовательно, максимальное ребро в минимальном остовном дереве минимальноневерно. Если же максимальное ребро в остовном дереве минимально, то такое дерево может не быть минимальным. Зато его можно найти быстрее чем Но MST, а конкретно из-за сортировки строится за <tex>O(E \log E)</tex>. Описанный далее алгоритм ищет Однако из-за того, что необходимо минимизировать только максимальное ребро минимального веса, которое также является ребром максимального веса минимального остовного дереваа не сумму всех рёбер, можно предъявить алгоритм, решающий задачу за линейное время. С помощью [[Поиск_k-ой_порядковой_статистики_за_линейное_время | алгоритма поиска k-ой порядковой статистики]] найдем ребро-медиану за <tex>O(E)</tex> и разделим множество ребер на два равных по мощности так, чтобы ребра в первом подмножестве все ребра не превосходили ребро-медиану, а по весу ребер во втором были не меньше его. Запустим Проверим образуют ли ребра из первого подмножества остов графа, запустив [[Использование_обхода_в_глубину_для_проверки_связности|обход в глубину]], чтобы проверить образуют ли ребра из первого подмножества остов, содержащий все вершины графа. * Если да, то самые легкие и все безопасные ребра находятся в первом подмножестве, поэтому рекурсивно запустим алгоритм от него, а второе подмножество ребер "выкинем". * В противном случае часть безопасных ребер, включая ребро, которое мы ищем, находится во втором подмножестве, поэтому сконденсируем в супервершины получившиеся несвязные компоненты в супервершины и рассмотрим граф с этими вершинами и ребрами из второго подмножества. В сконденсированных компонентах могут быть небезопасные ребра, но это не имеет значения, так как вес всех ребер первого подмножества меньше веса ребра, которого мы ищем, следовательно, они не повлияют на ответ. На последнем шаге останутся всего две компоненты связности, а и одно ребро в первом подмножестве будет содержаться лишь одно ребро, — это максимальное ребро и будет максимальным ребром минимального веса или максимальным ребром минимального остова, так как оно наименьшее по весу среди всех ребер, пересекающих <tex> \langle S, T \rangle </tex> разрез между данными компонентами. На каждом шаге ребер становится в два раза меньше, а все операции выполняются за время пропорциональное количеству ребер на текущем шаге, тогда время работы алгоритма <tex>O(E+\frac{E}{2}+\frac{E}{4}+...+1)=O(E)</tex>. Чтобы восстановить остовное дерево, достаточно запустить алгоритм поиска в глубину и добавлять в остов только те ребра, которые не превосходят найденное алгоритмом ребро.
→Источники информации: категория
==Идея==
Будем последовательно строить подграф <tex>F</tex> графа <tex>G</tex> ("растущий лес"), пытаясь на каждом шаге достроить <tex>F</tex> до некоторого MST. Начнем с того, что включим в <tex>F</tex> все вершины графа <tex>G</tex>. Теперь будем обходить множество <tex>E(G)</tex> в порядке неубывания весов ребер. Если очередное ребро <tex>e</tex> соединяет вершины одной компоненты связности <tex>F</tex>, то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в этой компоненте связности. В таком случае, очевидно, <tex>e</tex> не может быть включено в <tex>F</tex>. Иначе <tex>e</tex> соединяет разные компоненты связности <tex>F</tex>, тогда существует <tex> \langle S, T \rangle </tex> [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения|разрез]] такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда <tex>e</tex> — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из [[Лемма о безопасном ребре#Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] следует, что <tex>e</tex> является безопасным, поэтому добавим это ребро в <tex>F</tex>. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>.
Для проверки возможности добавления ребра используется [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев) | система непересекающихся множеств]].
==Реализация==
<font color=green>// <tex>G</tex> {{---}} исходный граф</font>
<font color=green>// <tex>F</tex> {{---}} минимальный остов</font>
'''function''' <tex>\mathtt{kruskalFindMST}():</tex>
<tex> \mathtt{F} \leftarrow V(G)</tex>
==Задача о максимальном ребре минимального веса==
==Пример==
==Асимптотика==
Сортировка <tex>E</tex> займет <tex>O(E\log E)</tex>.<br>
Работа с [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев) | системой непересекающихся множеств]] займет <tex>O(E\alpha(V))</tex>, где <tex>\alpha</tex> — обратная функция Аккермана, которая не превосходит <tex>4</tex> во всех практических приложениях и которую можно принять за константу.<br>
Алгоритм работает за <tex>O(E(\log E+\alpha(V))) = O(E\log E)</tex>.
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]][[Категория: Построение остовных деревьев]]
