Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Краскала

1761 байт убрано, 20:59, 7 сентября 2015
м
Источники информации: категория
==Идея==
Будем последовательно строить подграф <tex>F</tex> графа <tex>G</tex> ("растущий лес"), пытаясь на каждом шаге достроить <tex>F</tex> до некоторого MST. Начнем с того, что включим в <tex>F</tex> все вершины графа <tex>G</tex>. Теперь будем обходить множество <tex>E(G)</tex> в порядке неубывания весов ребер. Если очередное ребро <tex>e</tex> соединяет вершины одной компоненты связности <tex>F</tex>, то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в этой компоненте связности. В таком случае, очевидно, <tex>e</tex> не может быть включено в <tex>F</tex>. Иначе <tex>e</tex> соединяет разные компоненты связности <tex>F</tex>, тогда существует <tex> \langle S, T \rangle </tex> [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения|разрез]] такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда <tex>e</tex> — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из [[Лемма о безопасном ребре#Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] следует, что <tex>e</tex> является безопасным, поэтому добавим это ребро в <tex>F</tex>. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>.
Для проверки возможности добавления ребра используется [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев) | система непересекающихся множеств]].
==Реализация==
<font color=green>// <tex>G</tex> {{---}} исходный граф</font>
<font color=green>// <tex>F</tex> {{---}} минимальный остов</font>
<font color=green>// для проверки возможности добавления ребра используется система непересекающихся множеств</font>
'''function''' <tex>\mathtt{kruskalFindMST}():</tex>
<tex> \mathtt{F} \leftarrow V(G)</tex>
==Задача о максимальном ребре минимального веса==
Легко показать, что максимальное ребро в MST минимально. Пусть это не так, тогда рассмотрим разрез, который оно пересекает. В этом разрезе должно быть ребро с меньшим весом, иначе максимальное ребро было бы минимальным, но Обратное в таком общем случае минимальный остов не является минимальным, следовательно, максимальное ребро в минимальном остовном дереве минимально. Если же максимальное ребро в остовном дереве минимально, то такое дерево может не быть минимальнымневерно. Но MST из-за сортировки строится за <tex>O(E \log VE)</tex>. Однако из-за того, а дерево, у которого что необходимо минимизировать только максимальное ребро минимально, а не сумму всех рёбер, можно построить предъявить алгоритм, решающий задачу за <tex>O(E)</tex>линейное время.
Описанный далее алгоритм ищет максимальное ребро минимального веса и одновременно строит остовное дерево. Поместим каждую вершину графа в своё дерево. На каждой итерации с С помощью [[Поиск_k-ой_порядковой_статистики_за_линейное_время | алгоритма поиска k-ой порядковой статистики]] найдем ребро-медиану за <tex>O(E)</tex> и разделим множество ребер на два равных по мощности так, чтобы ребра в первом не превосходили по весу ребер во втором. Проверим образуют ли ребра из первого подмножества. Запустим остов графа, запустив [[Использование_обхода_в_глубину_для_проверки_связности|обход в глубину]], чтобы проверить образуют ли ребра из первого подмножества остов графа. * Если да, то все безопасные ребра находятся в первом подмножестве, рекурсивно запустим алгоритм от него. * В противном случае часть безопасных ребер, включая ребро, которое мы ищем, находится во втором подмножестве. Просмотрим ребра из первого подмножества, если текущее ребро соединяет разные сконденсируем получившиеся несвязные компоненты связности (проверим с помощью [[СНМ (реализация в супервершины и рассмотрим граф с помощью леса корневых деревьев) | СНМ]] за <tex>O(1)</tex>), то добавим его в остов. Запустим алгоритм от несвязных компонент этими вершинами и ребер ребрами из второго подмножества. На последнем шаге останутся две компоненты связности и одно ребро в первом подмножестве — это максимальное ребро минимального веса, так как оно наименьшее по весу среди всех ребер, пересекающих <tex> \langle S, T \rangle </tex> разрез между данными компонентами, добавим его в остов. Получившийся остов может не быть минимальным, но все ребра в нем не превосходят по весу ребра, которое мы нашли.
На каждом шаге ребер становится в два раза меньше, а все операции выполняются за время пропорциональное количеству ребер на текущем шаге, тогда время работы алгоритма <tex>O(E+\frac{E}{2}+\frac{E}{4}+...+1)=O(E)</tex>.
==Асимптотика==
Сортировка <tex>E</tex> займет <tex>O(E\log E)</tex>.<br>
Для проверки возможности добавления ребра используется система непересекающихся множеств, работа Работа с ней СНМ займет <tex>O(E\alpha(V))</tex>, где <tex>\alpha</tex> — обратная функция Аккермана, которая не превосходит <tex>4</tex> во всех практических приложениях и которую можно принять за константу.<br>
Алгоритм работает за <tex>O(E(\log E+\alpha(V))) = O(E\log E)</tex>.
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]][[Категория: Построение остовных деревьев]]

Навигация