Изменения

Очевидно, что максимальное ребро в MST минимально. Пусть это не так, тогда рассмотрим разрез, который оно пересекает. В этом разрезе должно быть ребро с меньшим весом, иначе максимальное ребро было бы минимальным, но в таком случае минимальный остов не является минимальным, следовательно, максимальное ребро в минимальном остовном дереве минимально. Если же максимальное ребро в остовном дереве минимально, то такое дерево может не быть минимальным. Зато его можно найти быстрее чем MST, а конкретно за <tex>O(E)</tex>. Для этого с помощью [[Поиск_k-ой_порядковой_статистики_за_линейное_время | алгоритма поиска k-ой порядковой статистики]] найдем за <tex>O(E)</tex> ребро-медиану и разделим множество ребер на два подмножества, так чтобы в первом подмножестве ребра были меньше медианы, а во втором больше. Проверим образуют ли ребра из первого подмножества остов, просто запустив [[Использование_обхода_в_глубину_для_проверки_связности|обход в глубину]] за <tex>O(E)</tex>. Если да, то удалим все ребраответ меньше либо равен медиане, которые больше медианыследовательно, и рекурсивно запустим алгоритм от первого подмножествадля первой половины, а вторую "выкинем". Иначе сожмем полученные компоненты связности в супервершиныза <tex>O(E)</tex>, рассмотрим новый получившийся граф с такими вершинами и оставшимися ребрами, то есть ребрами, которые соединяют ребра из второго подмножества. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности старого графа, это ребро и будет ответом. <br>