Изменения

Если из вершины х <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи относительно паросочетания М, то если паросочетание М' получается из М изменением вдоль дополняющей цепи, то из х <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи в М'.|proof=Доказательство от противного! Рассмотрим изменения, которые мы внесли в М вдоль дополняющей цепи, чтобы получить паросочетание М'. В этой цепи все промежуточные вершины были насыщенными, а концы свободные. После изменения вдоль этой цепи все вершины, лежащие на этой цепи станут насыщенными. Допустим, что из х <tex>x</tex> появилась дополняющая цепь относительно M'. Тогда появившаяся дополняющая цепь должна проходить хотя бы через одну из концевых вершин в той дополняющей цепи, относительно которой вносили изменения, поскольку иначе такая же дополняющая цепь была и в паросочетании М. Однако поскольку в паросочетании М концевые вершины не насыщены, то из вершины х <tex>x</tex> в паросочетании М есть все равно есть дополняющая цепь. Надо рассмотреть часть дополняющей цепи в М', ограниченную концом текущей дополняющей цепи и концом той дополняющей цепи, вдоль которой вносили изменения, такую что вершина х <tex>x</tex> будет промежуточной. Легко заметить что в такой цепи все промежуточные вершины насыщенные, а концы свободны, поэтому она является дополняющей. Значит, мы пришли к противоречию, поскольку в паросочетании М нет дополняющих цепей из вершины х<tex>x</tex>.