105
правок
Изменения
м
→Алгоритм
{{Теорема
|statement=
Если из вершины <tex>x</tex> не существует Корректность алгоритма следует из [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|дополняющей цепи]] относительно паросочетания <tex>M</tex> и паросочетание <tex>M'</tex> получается из <tex>M</tex> изменением вдоль дополняющей цепи, тогда из <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи в <tex>M'</tex>.
|proof=
[[Файл:Kuhn2.png|thumb|right|300x300px|Рисунок 1.]]
:: (Случай, когда <tex>NP</tex> принадлежит паросочетанию <tex>M'</tex> полностью симметричен.)<br><br>
: Поскольку паросочетание <tex>M'</tex> получается из <tex>M</tex> изменением вдоль дополняющей цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>, в паросочетание <tex>M</tex> входило ребро <tex>NP</tex>, а ребро <tex>MP</tex> нет.
: Кроме того, ребро <tex>QP</tex> не лежит ни в исходном паросочетании <tex>M</tex>, ни в паросочетании <tex>M'</tex>, в противном случае оказалось бы, что вершина <tex>p</tex> инцидентна нескольким ребрам рёбрам из паросочетания, что противоречит определению паросочетания.<br><br>
:Тогда заметим, что цепь <tex>(x \rightsquigarrow z)</tex>, полученная объединением цепей <tex>(x \rightsquigarrow p)</tex> и <tex>(p \rightsquigarrow z)</tex>, по определению будет дополняющей в паросочетании <tex>M</tex>, что приводит к противоречию, поскольку в паросочетании <tex>M</tex> из вершины <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи.
}}
==Алгоритм==
Задан граф <tex>G\langle V, E \rangle</tex>, про который известно, что он двудольный, но разбиение не задано явно.Требуется найти наибольшее паросочетание в немнём
Алгоритм можно описать так: сначала возьмём пустое паросочетание, а потом — пока в графе удаётся найти увеличивающую цепь, — будем выполнять чередование паросочетания вдоль этой цепи, и повторять процесс поиска увеличивающей цепи. Как только такую цепь найти не удалось — процесс останавливаем, — текущее паросочетание и есть максимальное.
* Граф <tex>G\langle V, E \rangle</tex> хранится в матрице смежности <tex>g[i][j]</tex> размера <tex>n </tex> на <tex>n</tex>
*<tex>n =|V|</tex>
'''bool''' dfs(v: '''int'''):
==Время работы==
:Итак, алгоритм Куна можно представить как серию из <tex>n</tex> запусков обхода в глубину на всём графе.
:Следовательно, всего этот алгоритм исполняется за время <tex>O(nm)</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} количество реберрёбер, что в худшем случае есть <tex>O(n^3)</tex>:Если явно задано разбиение графа на две доли размером <tex>n_1</tex> и <tex>n_2</tex>, то можно запускать <tex>\mathtt{dfs}</tex> только из вершин первой доли, поэтому весь алгоритм исполняется за время <tex>O(n_1m)</tex>. В худшем случае это составляет <tex>O(n_1^2n_2).</tex></tex>.
==Ссылки==
