Изменения

Если из вершины <tex>x</tex> не существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|дополняющей цепи ]] относительно паросочетания <tex>M</tex>, то если и паросочетание <tex>M'</tex> получается из <tex>M</tex> изменением вдоль дополняющей цепи, то тогда из <tex>x</tex> не существует дополняющей цепи в <tex>M'</tex>.|proof=[[Файл:Kuhn2.png|thumb|right|300x300px|Рисунок 1.]][[Файл:Kuhn1.png|thumb|right|300x300px|Рисунок 2.<br>Пунктиром обозначен путь между двумя вершинами. Ребро красного цвета лежит в паросочетании, а черного - нет.]]: Доказательство от противного! Рассмотрим .<br><br>: Допустим в паросочетание внесли изменения, которые мы внесли в вдоль дополняющей цепи <tex>M(y \rightsquigarrow z)</tex> вдоль дополняющей цепи, чтобы получить паросочетание М'. В этой цепи все промежуточные и из вершины были насыщенными, а концы свободные. После изменения вдоль этой цепи все вершины, лежащие на этой цепи станут насыщенными. Допустим, что из <tex>x</tex> появилась дополняющая цепь относительно M'. Тогда появившаяся : Заметим, что эта дополняющая цепь должна проходить хотя бы через одну из концевых вершин в вершинно пересекаться с той дополняющей цепицепью, относительно вдоль которой вносили вносились изменения, поскольку иначе такая же дополняющая цепь была из <tex>x</tex> существовала и в исходном паросочетании .<br><br>: Пусть <tex>p</tex> – ближайшая к <tex>x</tex> вершина, которая принадлежит и новой дополняющей цепи и цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>.: Тогда <tex>MP</tex> – последнее ребро на отрезке <tex>(y \rightsquigarrow p)</tex> цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>, <tex>NP</tex> – последнее ребро на отрезке <tex>(z \rightsquigarrow p)</tex> цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>, <tex>QP</tex> - последнее ребро лежащее на отрезке <tex>(x \rightsquigarrow p)</tex> новой дополняющей цепи(см. Рисунок 1).<br><br>: Допустим <tex>MP</tex> принадлежит паросочетанию <tex>M'</tex>, тогда <tex>NP</tex> ему не принадлежит. Однако поскольку <br>:: (Случай, когда <tex>NP</tex> принадлежит паросочетанию <tex>M'</tex> полностью симметричен.)<br><br>: Поскольку паросочетание <tex>M'</tex> получается из <tex>M</tex> изменением вдоль дополняющей цепи <tex>(y \rightsquigarrow z)</tex>, в паросочетании паросочетание <tex>M</tex> концевые вершины не насыщенывходило ребро <tex>NP</tex>, а ребро <tex>MP</tex> нет.: Кроме того, то из вершины ребро <tex>xQP</tex> не лежит ни в исходном паросочетании <tex>M</tex> есть все равно есть дополняющая цепь. Надо рассмотреть часть дополняющей цепи , ни в Мпаросочетании <tex>M'</tex>, ограниченную концом текущей дополняющей цепи и концом той дополняющей цепив противном случае оказалось бы, вдоль которой вносили изменения, такую что вершина <tex>xp</tex> будет промежуточнойинцидентна нескольким рёбрам из паросочетания, что противоречит определению паросочетания. Легко заметить <br><br>:Тогда заметим, что в такой цепи все промежуточные вершины насыщенныецепь <tex>(x \rightsquigarrow z)</tex>, а концы свободныполученная объединением цепей <tex>(x \rightsquigarrow p)</tex> и <tex>(p \rightsquigarrow z)</tex>, поэтому она является по определению будет дополняющей. Значитв паросочетании <tex>M</tex>, мы пришли что приводит к противоречию, поскольку в паросочетании <tex>M</tex> нет дополняющих цепей из вершины <tex>x</tex>не существует дополняющей цепи.

Пусть дан двудольный Задан граф <tex>G(\langle V, E)\rangle</tex> , про который известно, что он двудольный, но разбиение не задано явно. Требуется найти наибольшее паросочетание в нём Алгоритм можно описать так: сначала возьмём пустое паросочетание, а потом — пока в графе удаётся найти увеличивающую цепь, — будем выполнять чередование паросочетания вдоль этой цепи, и требуется повторять процесс поиска увеличивающей цепи. Как только такую цепь найти не удалось — процесс останавливаем, — текущее паросочетание и есть максимальное паросочетание . В массиве <tex>\mathtt{matching}</tex> хранятся паросочетания <tex> (v, \mathtt{matching}[v]) </tex> (Если паросочетания с вершиной <tex> v </tex> не существует, то <tex> \mathtt{matching}[v]= -1</tex>). А <tex>used</tex> — обычный массив "посещённостей" вершин в обходе в глубину (он нужен, чтобы обход в глубину не заходил в нёмодну вершину дважды).Функция <tex> \mathrm{dfs} </tex> возвращает <tex>true</tex>, если ей удалось найти увеличивающую цепь из вершины <tex>v</tex>, при этом считается, что эта функция уже произвела чередование паросочетания вдоль найденной цепи. Обозначим доли исходного графа как  Внутри функции просматриваются все рёбра, исходящие из вершины <tex>v</tex>, и затем проверяется: если это ребро ведёт в ненасыщенную вершину <tex> to</tex>, либо если эта вершина <tex>to</tex> насыщена, но удаётся найти увеличивающую цепь рекурсивным запуском из <tex>L\mathtt{matching}[to]</tex> , то мы говорим, что мы нашли увеличивающую цепь, и перед возвратом из функции с результатом <tex>true</tex> производим чередование в текущем ребре: перенаправляем ребро, смежное с <tex>Rto</tex>, в вершину <tex> v</tex>.  В основной программе сначала указывается, что текущее паросочетание — пустое (массив <tex> \mathtt{matching}<br/tex> заполняется числами <tex>-1</tex>) Просматриваем вершины . Затем перебирается вершина <tex>sv </tex> , и из доли неё запускается обход в глубину <tex> \mathrm{dfs} </tex>, предварительно обнулив массив <tex> used</tex>. Стоит заметить, что размер паросочетания легко получить как число вызовов <tex> \mathrm{dfs} </tex> в основной программе, вернувших результат <tex>Ltrue </tex>.Само искомое максимальное паросочетание содержится в массиве <tex> \mathtt{matching}</tex>.После того, как все вершины <tex>v \in V</tex> будут просмотрены, текущее паросочетание будет максимальным.Корректность алгоритма следует из [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|теоремы о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]] и теоремы, описанной выше.<br>

3) Если цепь найдена* Граф <tex>G\langle V, инвертируем все ребра E \rangle</tex> хранится в матрице смежности <tex>g[i][j]</tex> размера <tex>n </tex> на этой цепи.<tex>n</tex>*<tex>n = |V|</tex>

В любой момент времени текущим паросочетанием будет множество ребер, направленных из <tex>R</tex> в <tex>L</tex>. Корректность работы алгоритма следует из '''bool''' dfs(v: '''int'''): '''if''' (used[v]) '''return''' ''false'' used[v] = ''true'' '''for''' to '''in''' g[v] '''if''' (matching[to] == -1 '''or''' dfs(matching[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|теоремы Бержаto])): matching[to] и доказанной выше теоремы.= v '''return''' ''true'' '''return''' ''false''

bool function '''dfsmain'''(x): vis[x] = true fill(matching, -1) '''for''' <tex>xy \in E</tex>: k i = py[y]1..n fill(used, '''iffalse''' (k == -1) or ( dfs('''not''' vis[k]i) '''andfor''' (i = 1..n '''dfsif'''(k))): py[y] = x return true return false Kuhn(): pymatching[i] != -1) '''for''' <tex>s \in L</tex>: vis print(i, " ", matching[i] = false '''dfs'''(s)

:Итак, алгоритм Куна можно представить как серию из |<tex>Ln</tex>| запусков обхода в глубину на всём графе. :Следовательно, всего этот алгоритм исполняется за время <tex>O(V Enm)</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} количество рёбер, что в худшем случае есть <tex>O(Vn^3)</tex>:Если явно задано разбиение графа на две доли размером <tex>n_1</tex> и <tex>n_2</tex>, то можно запускать <tex>\mathtt{dfs}</tex> только из вершин первой доли, поэтому весь алгоритм исполняется за время <tex>O(n_1m)</tex>. В худшем случае это составляет <tex>O(n_1^2n_2).</tex> ==Ссылки== * [[Теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях|Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]]* [[Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания|Алгоритм Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания]]

==Источникиинформации==*[http://e-maxx.ru/algo/kuhn_matching MAXimal :: algo :: Алгоритм Куна нахождения наибольшего паросочетания]<br>* Асанов М., Баранский В., Расин В. {{--- }} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — ИжевскСПб.: ННЦ Издательство "Регулярная и хаотическая динамикаЛань", 2001, 2010. — 291 стр.[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Задача о паросочетании]]